Exercices 2BAC SM

Progression — 2BAC SM 0 / 228 exercices

Continuité des fonctions numériques

Limites · Prolongements · TVI · Bijectivité · arctan · Synthèse · 40 exercices

Calcul de limites Continuité par morceaux Prolongements Partie entière E(x) TVI Bijectivité · f⁻¹ Radicaux arctan

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Calcul de limites — formes indéterminées et limites à l'infini

6 questions

Calculer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{x^2-1}}\)

2. \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{1-\sqrt{3x-5}}\)

3. \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}\!\left(\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x+1}\right)\)

5. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}+x\)

6. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x\sqrt{x^2+x}-2x^2-x}{2\sqrt{x^2+1}}\)

Continuité d'une fonction définie par morceaux

Déterminer \(a\) et \(b\) pour la continuité sur \(\mathbb{R}\)

Soit \(f\) la fonction numérique définie par :

f(x)=\begin{cases} x^3+ax^2-3 & \text{si } x \leq 1 \\ ax+b & \text{si } 1 < x < 2 \\ \dfrac{ax^2+2}{3x-1} & \text{si } x \geq 2 \end{cases}

Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit continue sur \(\mathbb{R}\).

Continuité et limite — fonction trigonométrique

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\begin{cases} f(x)=\dfrac{\sqrt{2+\cos x}-\sqrt{3}}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\[8pt] f(0)=-\dfrac{\sqrt{3}}{12} \end{cases}

1. Montrer que \(f\) est continue en \(x_0=0\).

2. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}^*)\) : \(|f(x)|\leq\dfrac{2\sqrt{3}}{x^2}\)

b) En déduire \(\displaystyle\lim_{|x|\to+\infty}f(x)\).

Continuité d'une fonction définie sur \(\left]-\frac{\pi}{2};+\infty\right[\)

\begin{cases} f(x)=\dfrac{1-\cos^3 x}{x\cdot\sin x\cdot\cos x} & x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};0\right[ \\[10pt] f(x)=\dfrac{3\sqrt{1+x^2}-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} & x\in[0;+\infty[ \end{cases}

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to-\frac{\pi}{2}\\x>-\frac{\pi}{2}}}f(x)\).

2. Étudier la continuité de \(f\) au point \(x_0=0\).

Prolongement par continuité — valeur absolue

f(x)=2x+\frac{x^2-5x+6}{|x^2-9|-|x-3|}

1. Déterminer \(D_f\), l'ensemble de définition de \(f\).

2. La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité au point \(x_0=3\) ?

Prolongement par continuité — fonction trigonométrique

f(x)=\frac{(1-\tan x)^2}{1+\cos(4x)}

1. Déterminer \(D_f\).

2. a) Soit \(h\in\left]0;\frac{\pi}{2}\right[-\!\left\{\frac{\pi}{4}\right\}\). Montrer que : \[f\!\left(\frac{\pi}{4}+h\right)=\frac{2\tan^2 h}{(1-\tan h)^2\cdot\sin^2(2h)}\]

b) Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité au point \(x_0=\dfrac{\pi}{4}\).

Prolongement par continuité en \(x_0=0\)

f(x)=\frac{\cos x-\sqrt{1+\dfrac{\sin x}{2}}}{x}, \quad x\in\mathbb{R}^*

Montrer que \(f\) est prolongeable par continuité au point \(x_0=0\).

Prolongement par continuité en \(x_0=\pi\)

f(x)=\frac{x\cdot\sin x-\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{x-\pi}, \quad x\in\mathbb{R}\setminus\{\pi\}

1. Soit \(x\in\mathbb{R}^*\). Montrer que : \[f(x+\pi)=-\sin x-\pi\cdot\frac{\sin x}{x}+\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x}\]

2. Montrer que \(f\) est prolongeable par continuité au point \(x_0=\pi\).

Fonction avec partie entière — \(f(x)=\dfrac{\tan(\pi x)}{x-E(x)}\)

f(x)=\frac{\tan(\pi x)}{x-E(x)}

1. Déterminer \(D_f\).

2. Calculer \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to\frac{1}{2}\\x<\frac{1}{2}}}f(x)\).

3. La fonction \(f\) admet-elle un prolongement par continuité au point \(x_0=0\) ?

Étude de \(f(x)=\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{x}\) — parité et prolongement

f(x)=\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}

1. a) Déterminer \(D_f\). b) Étudier la parité de \(f\).

2. Montrer que : \(\left(\forall x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\) ; \(0<f(x)<\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\).

3. Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité au point \(x_0=0\).

Limites de fonctions composées — continuité et composition

Calculer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos\!\left(\dfrac{\sin(\pi x)}{x}\right)\)

2. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\tan\!\left(\sqrt{x}\cdot\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)\)

3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos\!\left(x^2\cdot\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)+x\right)\)

4. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin\!\left(\dfrac{\tan^2 x-\pi\tan x}{2x}\right)\)

Fonctions avec partie entière — trois études de prolongement

1. \(f(x)=1-xE\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\) sur \(\mathbb{R}^*\)

Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}^*)\) : \(|f(x)|<|x|\), et déduire que \(f\) est prolongeable par continuité en \(x_0=0\).

2. \(g(x)=(\sin x)\,E\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\) sur \(\mathbb{R}^*\)

a) Montrer que \(\left(\forall x\in{]0;\pi[}\right)\) : \(\dfrac{\sin x}{x}-\sin x<g(x)\leq\dfrac{\sin x}{x}\) et \(\left(\forall x\in{]-\pi;0[}\right)\) : \(\dfrac{\sin x}{x}\leq g(x)<\dfrac{\sin x}{x}-\sin x\)

b) La fonction \(g\) admet-elle un prolongement par continuité en \(x_0=0\) ?

3. \(h(x)=\dfrac{x-E(x)}{\sqrt{|x|}}\) sur \(\mathbb{R}^*\)

La fonction \(h\) admet-elle un prolongement par continuité en \(x_0=0\) ?

Étude de \(f(x)=\sqrt{|x|-E(x)}-x\) — domaine et continuité

f(x)=\sqrt{|x|-E(x)}-x

1. a) Déterminer \(D_f\). b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

2. Soit \(k\) un entier relatif. a) Étudier la continuité de \(f\) à gauche et à droite en \(x_0=k\). b) Étudier la continuité de \(f\) sur \(]k;\,k+1[\).

Continuité à droite et à gauche — encadrement et déduction

\begin{cases} f(x)=x\cdot\sqrt{1+\!\left(1+E\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)^{\!2}} & \text{si } x\neq 0\\[8pt] f(0)=1 \end{cases}

1. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}^*_+)\) : \(\sqrt{1+x^2}<f(x)\leq\sqrt{x^2+(x+1)^2}\). b) En déduire que \(f\) est continue à droite en \(x_0=0\).

2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

3. a) Montrer que \((\forall x\in[-1;0[)\) : \(-\sqrt{1+x^2}<f(x)\leq-\sqrt{x^2+(x+1)^2}\). b) En déduire \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)\).

4. La fonction \(f\) est-elle continue en \(x_0=0\) ?

Prolongement par continuité — \(f(x)=\dfrac{1}{E\!\left(\frac{2}{x}\right)-1}\)

f(x)=\frac{1}{E\!\left(\frac{2}{x}\right)-1}

1. Déterminer \(D_f\).

2. a) Montrer que \((\forall x\in D_f)\) : \(\dfrac{2-2x}{x}<E\!\left(\dfrac{2}{x}\right)-1\leq\dfrac{2-x}{x}\). b) En déduire que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(x_0=0\).

Théorème des valeurs intermédiaires — existence de solutions

TVI

1. Montrer que \(\sqrt{x}-x^3+2x-1=0\) admet au moins une solution dans \(]0;1[\).

2. Montrer que \(\sin x=1-x\) admet une solution unique dans \(\left]0;\dfrac{\pi}{6}\right[\).

3. Montrer que la courbe de \(f(x)=x^5+3x^3+4x-5\) coupe l'axe des abscisses en un unique point d'abscisse \(a\) avec \(0<a<1\).

TVI — généralisation avec coefficients \(\alpha\) et \(\beta\)

TVI

Soit \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}^*_+\) et \(f\) continue sur \([0;1]\) avec \(f(0)\neq f(1)\).

Montrer que : \(\left(\exists\, x_0\in\,]0;1[\right)\) ; \(\alpha f(0)+\beta f(1)=(\alpha+\beta)\,f(x_0)\).

TVI — existence d'un point fixe pour \(f \times g\)

TVI

Soit \(f\) une fonction numérique définie de \(\mathbb{R}\) vers \(]-\infty;1[\) et \(g\) une fonction numérique définie de \(\mathbb{R}\) vers \(]1;+\infty[\) telles que \(f\) et \(g\) sont continues sur \(\mathbb{R}\) et il existe deux réels \(x_1,x_2\in\mathbb{R}^*_+\) vérifiant : \(x_1 < x_2\), \(f(x_1)=x_1\) et \(g(x_2)=x_2\).

Montrer que : \(\bigl(\exists\, x_3\in\,]x_1;x_2[\bigr)\,;\; (f\times g)(x_3)=x_3\)

TVI — translation d'une fonction avec \(f(0)=f(1)\)

TVI

Soit \(f\) une fonction numérique continue sur \([0;1]\) telle que \(f(0)=f(1)\).

Montrer que : \(\left(\exists\, c\in\left[0;\tfrac{1}{2}\right]\right)\,;\; f\!\left(c+\tfrac{1}{2}\right)=f(c)\)

TVI — point fixe de \(f(a)+f(1-a)=2a\)

TVI

Soit \(f\) une fonction définie de \([0;1]\) dans \([0;1]\) et continue sur \([0;1]\).

Montrer que : \(\bigl(\exists\, a\in[0;1]\bigr)\,;\; f(a)+f(1-a)=2a\)

Bijectivité et fonction réciproque \(g^{-1}\)

Dans chaque question, \(g\) est la restriction de \(f\) sur \(I\). Montrer que \(g\) est bijective de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer, puis calculer \(g^{-1}(x)\).

1. \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\) ; \(\quad I=[0;1[\)

2. \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) ; \(\quad I=[-1;1]\)

3. \(f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}-1\) ; \(\quad I=[-1;+\infty[\)

4. \(f(x)=\sqrt{x+1}-3\) ; \(\quad I=[-1;+\infty[\)

5. \(f(x)=x^3-3x^2+3x-1\) ; \(\quad I=\mathbb{R}\)

Équations avec radicaux — résolution dans \(\mathbb{R}\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \(\sqrt{1-x}=1-x\)

2. \(x+\sqrt{x}=2\)

3. \(\sqrt{x}+\sqrt{\sqrt{x}}=12\)

4. \(\sqrt{x+7}+\sqrt{28-x}=5\)

5. \(\sqrt{\dfrac{2-x}{3+x}}+\sqrt{\dfrac{3+x}{2-x}}=2\)

6. \(4x-3\sqrt{x}-1=0\)

Limites en un point fini — radicaux et formes \(0/0\)

12 questions

Calculer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x^2}-x}{x}\)

2. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{4x+4}-2}{\sqrt{x}-1}\)

3. \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}\)

4. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{1-\sqrt{x+1}}\)

5. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+1}}{x}\)

6. \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{3-x}-1}{2-\sqrt{x+6}}\)

7. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{x-1}\Bigl(\sqrt{x^2+x^2}-\sqrt{x^3+1}\Bigr)\)

8. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt[3]{x}-1+\sqrt{(x-1)^5}}{\sqrt{x^2}-1}\)

9. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3x+5}}{1-\tan\!\left(\dfrac{\pi x}{4}\right)}\)

10. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{2(1-\sqrt{x})}-\dfrac{1}{3(1-\sqrt[3]{x})}\)

11. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x-\sqrt[3]{\cos x}}{x}\)

12. \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 8\\x<8}}\dfrac{(4-x^{1/3})^{3/2}}{x-8}\)

Limites à l'infini — radicaux et comparaisons

16 questions

Calculer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{x+\sqrt[3]{x^2}}{x}\right)\)

2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x-\sqrt{x-1}\bigr)\)

3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\bigl(x^3+x-\sqrt{1-x}\bigr)\)

4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x-\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\bigr)\)

5. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^3+x^2+1}-x\bigr)\)

6. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\bigl(\sqrt{x^3+x^2+1}-2x\bigr)\)

7. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{1/2}-x^{1/3}\bigr)\)

8. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^3-x^{1/2}-2}{x^3-3x^{1/2}+2}\)

9. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{1/2}\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\bigr)\)

10. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{1-x^3}-\sqrt{x^4-1}\bigr)\)

11. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+1}-\sqrt[3]{x^2+x}\bigr)\)

12. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt[3]{x^3-x^2}-\sqrt{x^2-1}\bigr)\)

13. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}\)

14. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}\)

15. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos(x)-\cos(2x)}{\sqrt{x}}\)

16. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\tan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)}{\sqrt[4]{\dfrac{1+8x}{x^4}}}\)

Étude de \(f(x)=\sqrt{x(x-1)^2}-1\) — domaine, limites, bijectivité

f(x)=\sqrt{x(x-1)^2}-1

1. Déterminer \(D_f\).

2. Calculer : a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) c) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)\)

3. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(I=[1;+\infty[\). a) Montrer que \(g\) est bijective de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer. b) Montrer que \((\forall x\in[1;+\infty[)\,;\; g(x) < x\).

Étude de \(f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}\) — bijectivité et limites

f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}

1. a) Déterminer \(D_f\). b) Montrer que \(f\) est bijective de \(D_f\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.

2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\).

3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \(f(x)=\sqrt{2x}\).

Étude de \(f(x)=\sqrt{1-x}-\sqrt{x}\) — TVI, équation, limite

f(x)=\sqrt{1-x}-\sqrt{x}

1. a) Déterminer \(D_f\). b) Montrer que \(f\) est continue sur \(D_f\). c) Montrer que \(f\) est bijective de \(D_f\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.

2. Montrer que : \(\left(\exists\, c\in\left]0;\tfrac{1}{2}\right[\right)\,;\; f(c)=c^3\).

3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(f(x)=\sqrt{1-2x}\).

4. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}}\dfrac{f(x)}{x-\dfrac{1}{2}}\).

\(\arctan\) — identités trigonométriques

1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\,;\;\cos(\arctan x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\), puis en déduire que \(\sin(\arctan x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).

2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). Déterminer en fonction de \(x\) : \(\sin(2\arctan x)\) et \(\cos^2\!\left(\tfrac{1}{2}\arctan x\right)\).

3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\,;\;\cos^2\!\left(\tfrac{1}{2}\arctan(x)+\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}-\dfrac{1+x\sqrt{3}}{4\sqrt{1+x^2}}\).

Simplification d'expressions avec \(\arctan\)

Simplifier les expressions suivantes :

1. \(A(x)=\tan(2\arctan x)\)

2. \(B(x)=\cos(4\arctan x)\)

3. \(C(x)=\cos(6\arctan x)\)

4. \(D(x)=\sin(3\arctan x)\)

💡 Formules utiles : \(\cos(3\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\) · \(\sin(3\alpha)=\sin\alpha-4\sin^3\alpha\)

Limites avec \(\arctan\)

6 questions

Calculer les limites suivantes :

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\arctan\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}\)

2. \(\displaystyle\lim_{x\to 2^+}(x-2)\arctan\!\left(\dfrac{1}{x-2}\right)\)

3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\arctan(5x^3+x+1)}{x}\)

4. \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\arctan(\tan x)\)

5. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+4}-3}\right)\)

6. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\arctan\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^3}}\right)\)

🔬 Exercices de synthèse Ex. 31–40

\(\arctan x + \arctan(1/x)\) — identités, limites et équation

4 parties

1. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}^*_+)\,;\;\arctan(x)+\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\pi}{2}\).
b) En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R}^*_-)\,;\;\arctan(x)+\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\).

2. Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\arctan x}{x}=1\).

3. Calculer les limites :
a) \(\displaystyle\lim_{x\to 6}\dfrac{\arctan(x^2-x)}{x}\) b) \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\arctan\!\left(\sqrt{x^2+x}\right)}{\sqrt{x}}\) c) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\)
d) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\!\left(\arctan(\sqrt{x})-\dfrac{\pi}{2}x\right)\) e) \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-x\right)-\dfrac{\pi}{2}}{\sqrt{x}}\)

4. Résoudre dans \(\mathbb{R}^+\) : \(\arctan x+\arctan(x-1)=\dfrac{\pi}{2}\).

\((f\circ f)(a)=a \Rightarrow \exists\, c,\; f(c)=c\) — point fixe de \(f\circ f\)

Soit \(f\) une fonction numérique définie et continue sur \(\mathbb{R}\) telle qu'il existe au moins un réel \(a\) vérifiant : \((f\circ f)(a)=a\).

Montrer que : \((\exists\, c\in\mathbb{R})\,;\; f(c)=c\).

Signe constant d'une fonction continue ne s'annulant pas

Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\) telle que \(f(x)\neq 0\) pour tout \(x\in I\).

Montrer que : \(\bigl((\forall x\in I)\,;\;f(x)>0\bigr)\) ou \(\bigl((\forall x\in I)\,;\;f(x)<0\bigr)\).

Minoration uniforme sur un segment — \(f(x)\geq\alpha\) et \(|g(x)-x|\geq\beta\)

1. Soit \(f\) continue sur \([a;b]\) avec \(f(x)>0\) pour tout \(x\in[a;b]\). Montrer que : \((\exists\,\alpha\in\mathbb{R}^*_+)\,;\,(\forall x\in[a;b])\,;\;f(x)\geq\alpha\).

2. Soit \(g\) continue sur \([a;b]\) avec \(g(x)\neq x\) pour tout \(x\in[a;b]\). Montrer que : \((\exists\,\beta\in\mathbb{R}^*_+)\,;\,(\forall x\in[a;b])\,;\;|g(x)-x|\geq\beta\).

TVI pour deux fonctions — \(\exists\, c,\; f(c)=g(c)\)

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([0;1]\) telles que : \(g(0)=f(1)\) et \(g(1)=f(0)\).

Montrer que : \((\exists\, c\in[0;1])\,;\; f(c)=g(c)\).

Encadrement et existence sur \(\left[\frac{1}{2};1\right]\) — fonction avec radicaux

f(x)=\frac{1}{x}\!\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}-\sqrt{x^2+2x}\right)-1

1. Déterminer \(D_f\).

2. Montrer que \((\exists\,(\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2)\,;\,\left(\forall x\in\left[\tfrac{1}{2};1\right]\right)\,;\;\alpha x\leq\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-\sqrt{x^2+2x}\leq\beta x\).

3. Montrer que \(\left(\exists\, c\in\left[\tfrac{1}{2};1\right]\right)\,;\;\sqrt{1+\tfrac{1}{c}}-\sqrt{c^2+2c}=c\).

Étude de \(f(x)=2x^3+x-1\) — bijectivité, unique racine \(\alpha\), limite

$$f(x)=2x^3+x-1$$

1. a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer. b) En déduire la monotonie de \(f^{-1}\) sur \(J\).

2. a) Montrer que \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\in\mathbb{R}\) avec \(0<\alpha<1\). b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to\alpha}\dfrac{\sqrt{f(x)}}{x-\alpha}\).

Étude de \(f(x)=\arctan\!\sqrt{3-x}\) — limite, bijectivité, \(f^{-1}\), TVI

f(x)=\arctan\sqrt{3-x}, \quad x\in\left]-\infty;3\right]

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{f(x)}{x-3}\).

2. Montrer que \(f\) est bijective de \(]-\infty;3]\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.

3. Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).

4. Montrer qu'il existe \(\alpha\in\,]2;3[\) tel que \(f(\alpha)=1-\dfrac{\alpha}{4}\).

Domaine et simplification d'expressions avec \(\arctan\)

6 expressions

Déterminer \(D_f\) puis simplifier l'expression de \(f\) :

1. \(f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{x^2-1}{2x}\right)\)

2. \(f(x)=\arctan\!\sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}}\)

3. \(f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\)

4. \(f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)

5. \(f(x)=\arctan\!\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\)

6. \(f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{3x-x^3}{1-3x^2}\right)\) (Calculer \(\tan(3\alpha)\) en fonction de \(\tan\alpha\))

Bijectivité et \(f^{-1}\) de \(f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right)\) — limite en \(x=1\)

1. Soit \(g(x)=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\) sur \([0;+\infty[\)

a) Montrer que \(g\) est une bijection de \([0;+\infty[\) sur \(]-1;1]\).

b) Déterminer \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\in\,]-1;1]\).

2. Soit \(f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right)\) sur \([0;+\infty[\)

a) Montrer que \(f\) est une bijection de \([0;+\infty[\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.

b) Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).

c) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}\).

Dérivation et étude de fonctions

Dérivabilité · Fonctions réciproques · TAF · Étude de fonctions · 41 exercices

Dérivabilité arctan · dérivée Fonctions réciproques TAF Suites & convergence

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Étude de \(f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}\) — dérivabilité, tableau de variations

f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}

1. a) Déterminer \(D_f\). b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)\).

2. a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en \(x_0=1\). b) Étudier la dérivabilité à gauche en \(x_1=-2\).

3. a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in D_f\setminus\{-2;1\}\). b) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Dérivabilité de \(f(x)=\sqrt[3]{1-\cos x}\) sur \([0;\pi]\)

f(x)=\sqrt[3]{1-\cos x}, \quad x\in[0;\pi]

1. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0;\pi[\).

2. Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\,]0;\pi[\).

3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\), puis interpréter graphiquement le résultat.

Bijectivité et \((f^{-1})'\) de \(f(x)=1+\dfrac{1}{\sin x}\) sur \(\left[\frac{\pi}{2};\pi\right[\)

f(x)=1+\frac{1}{\sin x}, \quad I=\left[\frac{\pi}{2};\pi\right[

1. Montrer que \(f\) admet une bijection réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.

2. Montrer que \((\forall x\in I)\,;\;f'(x)=(f(x)-1)\times\sqrt{(f(x))^2-2f(x)}\).

3. Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(]2;+\infty[\) et que \((f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-2x}}\) pour tout \(x\in\,]2;+\infty[\).

Dérivabilité et dérivée — 8 fonctions avec radicaux

8 questions

Étudier la dérivabilité et déterminer la dérivée de chaque fonction :

1. \(f(x)=(x-1)\sqrt{2x}\) 5. \(f(x)=\sqrt[3]{x^2+2x}-x\)

2. \(f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x-1}}{x+2}\) 6. \(f(x)=\bigl(\sqrt[3]{x^2}-1\bigr)^4\)

3. \(f(x)=\dfrac{2\sqrt[3]{x}}{1+x\sqrt{x}}\) 7. \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-2x}}\)

4. \(f(x)=x\cdot\sqrt[3]{1-\dfrac{2}{x}}\) 8. \(f(x)=x\cdot\sqrt[3]{\dfrac{x+2}{x-2}}\)

Étude de \(f(x)=2x^4-4x^3+9x^2-4x+1\) — bijectivité de \(f'\), positivité

$$f(x)=2x^4-4x^3+9x^2-4x+1$$

1. a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'(x)\). b) Montrer que \(f'\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) et déduire que \(\exists!\,\alpha\in\mathbb{R},\;f'(\alpha)=0\). c) Dresser le tableau de variations de \(f\).

2. a) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb{R})\,;\;f(x)=\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{8}\right)f'(x)+\left(3x^2-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\). b) Montrer que \(f(\alpha)>0\). c) En déduire que \((\forall x\in\mathbb{R})\,;\;f(x)>0\).

Dérivée de 4 fonctions contenant \(\arctan\)

4 questions

Étudier la dérivabilité et calculer la dérivée :

1. \(f(x)=x\cdot\arctan\!\left(\sqrt{x}\right)\) 3. \(f(x)=\sqrt[3]{\arctan x}\)

2. \(f(x)=\dfrac{\arctan x}{\sqrt{x}}\) 4. \(f(x)=\arctan\!\left(\sqrt[3]{(x+2)^2}\right)\)

Dérivée nulle → simplification — 4 expressions avec \(\arctan\)

Calculer la dérivée de \(f\) puis en déduire une simplification de \(f(x)\) :

1. \(f(x)=\arctan\!\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\)

2. \(f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{2x+1}{2-x}\right)\)

3. \(f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+\arctan\!\left(\dfrac{2-x}{x\sqrt{3}}\right)\)

4. \(f(x)=\arctan\!\left(\dfrac{x^2-2x-1}{x^2+2x-1}\right)\)

Étude de \(f(x)=\arctan\!\left(\frac{x-1}{x}\right)-\arctan\!\left(\frac{x}{1+x}\right)\)

f(x)=\arctan\!\left(\frac{x-1}{x}\right)-\arctan\!\left(\frac{x}{1+x}\right)

1. a) Déterminer \(D_f\). b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\), \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\).

2. a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in D_f\). b) En déduire que sur \(]-1;0[\) : \(f(x)=\arctan(2x^2)+\dfrac{\pi}{2}\) et sur \(]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[\) : \(f(x)=\arctan(2x^2)-\dfrac{\pi}{2}\).

Bijectivité de \(f(x)=2x+\tan\!\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) — \(f^{-1}\), \(g'(2)\), \(g''(2)\)

f(x)=2x+\tan\!\left(\frac{\pi}{2}x\right), \quad x\in\,]-1;1[

1. a) Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(]-1;1[\) sur \(J\) à préciser. b) Calculer \(f''(x)\).

2. On pose \(g=f^{-1}\). a) Montrer que \(g\) est deux fois dérivable sur \(J\). b) Calculer \(f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\), \(g'(2)\) et \(g''(2)\).

Étude de \(f(x)=x-\dfrac{1}{\arctan(x)}\) sur \(]0;+\infty[\) — \(f^{-1}\), solution unique \(\alpha\)

f(x)=x-\frac{1}{\arctan(x)}, \quad x\in\,]0;+\infty[

1. Dresser le tableau de variations de \(f\).

2. Montrer que \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0;+\infty[\) avec \(1<\alpha<\sqrt{3}\).

3. a) Montrer que \(f\) admet une bijection réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\). b) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). c) Montrer que \((f^{-1})'(0)=\dfrac{1+\alpha^2}{1+2\alpha^2}\).

Encadrement de \(\arctan x - x\) et limite — inégalité polynomiale

1. a) Montrer que \((\forall x\in[0;+\infty[)\,;\;-\dfrac{x^3}{3}\leq\arctan(x)-x\leq-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}\). b) En déduire \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\arctan(x)-x}{x^2}=0\).

2. Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\arctan\!\left(\frac{x}{x+1}\right)-x}{x^2}=-1\).

TAF — existence de \(c\) avec \(2cf'(c)=\sqrt{c}\)

Soit \(f\) continue sur \([0;1]\), dérivable sur \(]0;1[\) avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).

Montrer que \((\exists\,c\in\,]0;1[)\,;\;2c\,f'(c)=\sqrt{c}\).

TAF — existence unique de \(c\) avec \(f(0)-f(1)=2f(c)\)

Soit \(f\) continue sur \([0;1]\), dérivable sur \(]0;1[\) avec \(f(0)\neq f(1)\) et \(f'(x)\neq 0\) pour tout \(x\in\,]0;1[\).

Montrer que \((\exists!\,c\in\,]0;1[)\,;\;f(0)-f(1)=2f(c)\).

TAF — solution de \(4ax^3+3bx^2+2cx-(a+b+c)=0\) dans \(]0;1[\)

Soit \(a,b,c\in\mathbb{R}\) non tous nuls.

Montrer que \(4ax^3+3bx^2+2cx-(a+b+c)=0\) admet au moins une solution dans \(]0;1[\).

Encadrement de \(\dfrac{\arctan(b)-\arctan(a)}{b-a}\) — continuité, dérivabilité, branches infinies

1. Encadrement de \(\arctan\)

a) Soit \(0\leq a<b\). Montrer que \(\dfrac{1}{1+b^2}<\dfrac{\arctan(b)-\arctan(a)}{b-a}<\dfrac{1}{1+a^2}\).

b) En déduire que \((\forall x\in\,]0;+\infty[)\,;\;\dfrac{1}{1+x^2}<\dfrac{\arctan(x)}{x}<1\).

2. Application — deux fonctions

a) \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{\arctan x}{x}&;\;x\neq 0\\1\end{cases}\) — Montrer que \(f\) est continue en \(x_0=0\) puis étudier sa dérivabilité en \(0\).

b) \(g(x)=(x-1)^x\cdot\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\) sur \(\mathbb{R}^*\) — Étudier les branches infinies au voisinage de \(+\infty\) et \(-\infty\).

TAF — 5 inégalités à démontrer (arctan, tan, x·cos x)

5 questions

En utilisant le TAF, montrer les inégalités suivantes :

1. \((\forall x\in\,]-\infty;0[)\,;\;\arctan(x)<\dfrac{x}{1+x^2}\)

2. \(\dfrac{1}{\cos^2 a}<\dfrac{\tan b-\tan a}{b-a}<\dfrac{1}{\cos^2 b}\) où \(0<a<b<\dfrac{\pi}{2}\)

3. \((\forall(x,y)\in([0;10])^2)\,;\;|x\cos x-y\cos y|\leq 11|x-y|\)

4. \((\forall x\in\,]0;1[)\,;\;|f(x)-f(y)|\leq\dfrac{1}{4\cos^2(1)}|x-y|\) où \(f(t)=\dfrac{1}{4}\tan\!\left(\dfrac{1}{1+t}\right)\)

5. \((\forall(x,y)\in(]0;2[)^2)\,;\;|g(x)-g(y)|<\dfrac{\sqrt{2}}{12}|x-y|\) où \(g(t)=\arctan\!\left(\sqrt{t+2}\right)\)

TAF — énoncé du théorème et inégalité \(1<\dfrac{\tan x}{x}<1+\tan^2 x\)

1. Énoncer le théorème des accroissements finis.

2. Montrer que \(\left(\forall x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\right)\,;\;1<\dfrac{\tan(x)}{x}<1+\tan^2(x)\) en appliquant le TAF.

\(f'\) décroissante sur \(]0;+\infty[\) — \(f(x)\geq xf'(x)\) et \(g=f/x\) décroissante

Soit \(f\) continue sur \([0;+\infty[\), dérivable sur \(]0;+\infty[\) avec \(f(0)=0\) et \(f'\) décroissante sur \(]0;+\infty[\).

1. Montrer que \((\forall x\in\,]0;+\infty[)\,;\;f(x)\geq xf'(x)\).

2. Soit \(g(x)=\dfrac{f(x)}{x}\) sur \(]0;+\infty[\). Montrer que \(g\) est décroissante.

Étude de \(f(x)=2x+\sin x-\cos x\) sur \([0;\pi/4]\) — point fixe unique \(\alpha\), TAF

f(x)=2x+\sin x-\cos x, \quad x\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right]

1. Montrer que \(\left(\exists!\,\alpha\in\left]0;\dfrac{\pi}{4}\right[\right)\,;\;f(\alpha)=\alpha\).

2. Montrer que \(\left(\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\right)\,;\;|f'(x)|\leq 4\).

3. Montrer que \(\left(\exists!\,\alpha\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\right)\,;\;|f(x)-\alpha|\leq\pi\).

TAF — existence de \(c\) avec \(\sqrt[4]{c^3}\cdot f'(c)=1\)

Soit \(f\) continue sur \([0;1]\), dérivable sur \(]0;1[\) avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=4\).

Montrer que \((\exists\,c\in\,]0;1[)\,;\;\sqrt[4]{c^3}\cdot f'(c)=1\).

Étude complète de \(f(x)=1-x+\arctan(x)\) — symétrie, \(f^{-1}\), branches infinies, courbe

f(x)=1-x+\arctan(x)

1. a) Montrer que \(I(0;1)\) est un centre de symétrie de \((C)\). b) Dresser le tableau de variations.

2. a) Montrer que \(f\) admet une réciproque \(f^{-1}\) sur \(\mathbb{R}\). b) Montrer que \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) avec \(2<\alpha<\dfrac{5}{2}\).

3. a) Étudier les branches infinies. b) Tracer \((C)\).

4. a) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) et que \(1+(f^{-1})'(x)+\dfrac{1}{(f^{-1}(x))^2}=0\). b) Montrer que \(\left(\exists\,c\in\left[\dfrac{\pi}{4};1\right]\right)\,;\;\left(\dfrac{\pi}{4}-1\right)\!\left(1+\dfrac{1}{(f^{-1}(c))^2}\right)=-1\).

Étude de \(f(x)=\dfrac{1}{\tan x}\) sur \([\pi/4;\pi/2]\) — \(f^{-1}\), TAF, encadrement

f(x)=\frac{1}{\tan x} \text{ sur } \left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right[, \quad f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

1. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right]\).

2. Montrer que \(-2\leq f'(x)\leq -1\) pour tout \(x\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right]\).

3. En déduire que \(\dfrac{\pi}{2}-2x\leq\dfrac{1-\tan x}{\tan x}\leq\dfrac{\pi}{4}-x\) pour tout \(x\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right]\).

4. a) Montrer que \(f\) admet une réciproque définie sur \([0;1]\). b) Expliciter \(f^{-1}(x)\) pour \(x\in[0;1]\).

Théorème de Cauchy — limites de \(\dfrac{x-\sin x}{x^3}\) et \(\dfrac{x-\arctan x}{x^3}\)

1. a) Soit \(f,g\) continues sur \([a;b]\), dérivables sur \(]a;b[\) avec \(g'(x)\neq 0\). Montrer \(g(a)\neq g(b)\) puis montrer \(\left(\exists\,c\in\,]a;b[\right)\,;\;\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}\).

2. Calculer : a) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}\) b) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\arctan(x)}{x^3}\)

TAF — \(f(a)=f(b)=0\), \(f'_+(a)=0\) implique \(\exists\,c,\;f'(c)=\dfrac{f(c)}{c-a}\)

Soit \(f\) continue sur \([a;b]\), dérivable sur \([a;b]\) avec \(f(a)=f(b)=0\) et \(f'_+(a)=0\).

Montrer que \((\exists\,c\in\,]a;b[)\,;\;f'(c)=\dfrac{f(c)}{c-a}\).

TAF — \(f'(a)\times f'(b)=\dfrac{1-c^n}{1-c}\cdot c^{n-1}\) pour \((a,b,c)\in(]0;1[)^3\)

Soit \(n\in\mathbb{N},\,n\geq 2\). Soit \(f\) continue sur \([0;1]\), dérivable sur \(]0;1[\) avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).

Montrer que \(\bigl(\exists\,(a,b,c)\in(]0;1[)^3\bigr)\,;\;f'(a)\times f'(b)=\dfrac{1-c^n}{1-c}\cdot c^{n-1}\).

\(f''\geq a>0\) — bijectivité de \(f'\), réciproque \(g\), dérivée de \(h(x)=xg(x)-f(g(x))\)

Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(\exists\,a\in\,]0;+\infty[\,;\,(\forall x\in\mathbb{R})\,;\,f''(x)\geq a\).

1. Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f'(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f'(x)=-\infty\).

2. Montrer que \(f'\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). On note \(g\) sa réciproque.

3. Soit \(h(x)=xg(x)-f(g(x))\). Montrer que \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(g'(x)\).

\(f(a)=f(b)=0\), \(f''\neq 0\) — montrer que \(f(x)\neq 0\) sur \(]a;b[\)

Soit \(f\) continue sur \([a;b]\), deux fois dérivable sur \(]a;b[\) avec \(f(a)=f(b)=0\) et \(f''(x)\neq 0\) pour tout \(x\in\,]a;b[\).

Montrer que \((\forall x\in\,]a;b[)\,;\;f(x)\neq 0\).

\(f'\) nulle — existence de \(c'\) avec \(f'(c)=0\) via bijection de \(\varphi\) sur \(]0;1]\to[0;+\infty[\)

Soit \(f\) continue sur \([0;+\infty[\), dérivable sur \(]0;+\infty[\) avec \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=f(0)\). On pose \(F(x)=f\!\left(\frac{1}{x}-1\right)\) pour \(x\in\,]0;1]\) et \(F(0)=f(0)\).

1. Montrer que \(\varphi:x\mapsto\frac{1}{x}-1\) réalise une bijection de \(]0;1]\) sur \([0;+\infty[\).

2. a) Montrer que \(F\) est continue sur \([0;1]\). b) Montrer que \(F\) est dérivable sur \(]0;1[\).

3. Montrer que \((\exists\,c\in\,]0;+\infty[)\,;\;f'(c)=0\).

4. Si \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0;+\infty[\), montrer que \(c\) est unique.

🔬 Exercices de synthèse Ex. 29–41

Étude de \(f(x)=x\bigl(\sqrt[3]{x}-2\bigr)^2\) sur \([0;+\infty[\) — branche infinie, variations, courbe

f(x)=x\bigl(\sqrt[3]{x}-2\bigr)^2, \quad x\in[0;+\infty[

1. a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\). b) Étudier la branche infinie au voisinage de \(+\infty\).

2. Étudier la dérivabilité à droite en \(0\) et interpréter géométriquement.

3. Calculer \(f'(x)\) pour \(x\in\,]0;+\infty[\) puis dresser le tableau de variations.

4. Tracer la courbe \((\mathscr{C})\).

Étude de \(f(x)=1+\cos(\pi x)\) sur \([0;1]\) — \(f^{-1}\), dérivée, suite \(h(x)=f^{-1}(x)+f^{-1}(2-x)\equiv 1\)

f(x)=1+\cos(\pi x), \quad x\in[0;1]

1. a) Tableau de variations. b) Montrer que \(f\) admet \(f^{-1}\) sur \([0;2]\).

2. Montrer que \((f^{-1})'(x)=\dfrac{-1}{\pi\sqrt{2x-x^2}}\) pour \(x\in\,]0;2[\).

3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\dfrac{f^{-1}(x)}{x-2}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f^{-1}(x)-1}{x}\).

4. Soit \(h(x)=f^{-1}(x)+f^{-1}(2-x)\) sur \([0;2]\). a) Calculer \(h'(x)\). b) Calculer \(h(1)\) puis montrer que \(h(x)=1\) sur \([0;2]\). c) Interprétation graphique.

Étude de \(f(x)=\arctan(2\sqrt{1-x})+\dfrac{\pi}{2}\) — dérivabilité en \(1\), variations, courbe

f(x)=\arctan(2\sqrt{1-x})+\frac{\pi}{2}

1. a) Déterminer \(D_f\). b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement.

2. Étudier la dérivabilité à gauche en \(1\) et interpréter géométriquement.

3. a) Calculer \(f'(x)\) sur \(]-\infty;1[\). b) Tableau de variations. c) Tracer \((\mathscr{C})\).

Étude de \(f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}\) — point fixe \(\alpha\), suite \((u_n)\) avec \(u_{n+1}=f(u_n)\), suites adjacentes

f(x)=\frac{(x+1)^2}{x^2+1}

1. a) Tableau de variations. b) Vérifier \(f([1;2])\subset[1;2]\) et montrer \((\forall x\in[1;+\infty[)\,;\;|f'(x)|\leq\frac{1}{4}\). c) Montrer que \(f(x)=x\) admet une solution unique \(\alpha\in\,]1;2[\).

2. Suite \((u_n)\) avec \(u_0=2\), \(u_{n+1}=f(u_n)\). Suites \(x_n=u_{2n}\) et \(y_n=u_{2n+1}\).
a) Montrer \((\forall n)\,;\,1\leq u_n\leq 2\). b) Montrer que \((x_n)\) décroît, \((y_n)\) croît, et \(y_n<\alpha<x_n\). c) Montrer que \(|x_{n+1}-y_{n+1}|\leq\frac{1}{16}|x_n-y_n|\) puis déduire que \(x_n\to\alpha\) et \(y_n\to\alpha\).

Étude de \(f(x)=\arctan(x)+2x-1\) — suite \((u_n)\) avec \(u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\), TAF, convergence

I/ \(f(x)=\arctan(x)+2x-1\)

1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\,;\;f'(x)>2\).

2. Montrer que \(f\) admet une réciproque \(f^{-1}\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Montrer que \(f(x)=x\) admet une solution unique \(\alpha\in\,]0;1[\).

4. Montrer que \((\forall x\in\,]\alpha;+\infty[)\,;\;f(x)>x\).

II/ Suite \((u_n)\) avec \(u_0=a>\alpha\) et \(u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\)

1. Montrer que \((\forall n)\,;\;u_n>\alpha\).

2. Montrer que \((u_n)\) est monotone et convergente.

3. Montrer par TAF que \(u_{n+1}-\alpha<\frac{1}{2}(u_n-\alpha)\).

4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Étude de \(f(x)=x-\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x}}\) — bijectivité, \(g^{-1}\), suite \((u_n)\) avec \(u_{n+1}=f(u_n)\), suites adjacentes

f(x)=x-\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}

1. a) Déterminer \(D_f\). b) Limites aux bornes. c) Branches infinies.

2. Dérivabilité à gauche en \(-1\), interprétation géométrique.

3. a) \(f'(x)\) pour \(x\in D_f\setminus\{-1\}\). b) Tableau de variations. c) Courbe.

4. Restriction \(g\) sur \(]0;+\infty[\) : a) Bijectivité, \(J\). b) Unique \(\alpha\in\,]1;2[\) avec \(g(\alpha)=0\). c) \(g^{-1}\) dérivable, calculer \((g^{-1})'(0)\). d) Courbe.

5. Suite \((u_n)\) avec \(u_0=0\), \(u_{n+1}=f(u_n)\), \(x_n=u_{2n}\), \(y_n=u_{2n+1}\) : suites adjacentes convergeant vers \(\lambda_0\).

Étude de \(g=\tan(x)/x\) sur \([0;\pi/2[\) puis \(f=\arctan(g)\) — TAF, dérivabilité aux bornes, courbe

I/ \(g(x)=\tan(x)/x\) sur \([0;\pi/2[\), \(g(0)=1\)

1. Continuité sur \([0;\pi/2[\) et \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/2^-}g(x)\).

2. TAF sur \([0;x]\) pour montrer \(0<\tan x-x<x\tan^2 x\), puis dérivabilité à droite en \(0\).

3. Tableau de variations, bijectivité sur \([0;\pi/2[\) vers \(J\).

II/ \(f(x)=\arctan(g(x))\) sur \([0;\pi/2[\)

1. Continuité sur \([0;\pi/2]\), dérivabilité à droite en \(0\).

2. Montrer \((\forall t>0)\,;\,\arctan t+\arctan(1/t)=\pi/2\), puis dérivabilité à gauche en \(\pi/2\).

3. Tableau de variations et courbe \((\mathscr{C})\).

Étude de \(f(x)=\arctan(1/x)+\sqrt{\pi\arctan x}\) sur \([0;+\infty[\) — \(g^{-1}\), dérivabilité, TAF

f(x)=\arctan\!\left(\frac{1}{x}\right)+\sqrt{\pi\arctan x}, \quad x>0 \;;\quad f(0)=\frac{\pi}{2}

1. a) Montrer que \(\arctan x+\arctan(1/x)=\pi/2\) pour \(x>0\). b) Montrer que \(f\) est continue sur \([0;+\infty[\).

2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement.

3. a) Dérivabilité à droite en \(0\). b) \(f'(x)\) pour \(x>0\) et signe de \(f'\). c) Tableau de variations.

4. Restriction \(g\) sur \([1;+\infty[\) : a) Bijectivité, \(J\). b) Monotonie de \(g^{-1}\), expression explicite.

Étude de \(f(x)=3\sqrt[3]{x+1}-x\) sur \([-1;+\infty[\) — suite \((u_n)\) avec \(u_{n+1}=f(u_n)\), suites adjacentes

I/ \(f(x)=3\sqrt[3]{x+1}-x\) sur \([-1;+\infty[\)

1. a) Limite en \(+\infty\), branche infinie. b) Dérivabilité à droite en \(-1\).

2. a) \(f'(x)\), tableau de variations. b) Unique \(\alpha\in\,]5;6[\) avec \(f(\alpha)=0\). c) Courbe.

II/ Restriction \(g\) sur \([0;+\infty[\)

1. Unique \(\lambda_0\in\,]2;3[\) avec \(g(\lambda_0)=\lambda_0\).

2. a) Bijectivité, \(J\). b) \(g^{-1}\) dérivable sur \(]-\infty;3[\), calculer \((g^{-1})'(\lambda_0)\). c) Courbe \((\Gamma)\). d) TAF : \(g^{-1}(x)-\alpha<\dfrac{x\alpha^2}{9-\alpha^2}\) pour \(x\in\,]-\infty;0[\).

III/ Suite \((u_n)\) avec \(u_0=0\), \(u_{n+1}=f(u_n)\), \(x_n=u_{2n}\), \(y_n=u_{2n+1}\)

1. a) \(0\leq u_n\leq 3\). b) \((x_n)\) croissante, \((y_n)\) décroissante.

2. \(x_n<\lambda_0<y_n\), convergence.

3. a) \((\forall x\in[0;3])\,;\,|f'(x)|\leq 1-\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\). b) \(|x_{n+1}-y_{n+1}|\leq\left(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2|x_n-y_n|\). c) Suites adjacentes, \(x_n\to\lambda_0\) et \(y_n\to\lambda_0\).

\(\cos(\arctan x)\) — Étude de \(f(x)=2\arctan\!\left(\frac{1}{2}\tan\!\left(\frac{2x}{3}\right)\right)\), dérivée, TAF, bijectivité

f(x)=2\arctan\!\left(\frac{1}{2}\tan\!\left(\frac{2x}{3}\right)\right), \quad x\in\left[0;\frac{3\pi}{4}\right[, \quad f\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\pi

A) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\,;\;\cos(\arctan x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).

1. Continuité sur \([0;3\pi/4]\).

2. Dérivabilité sur \([0;3\pi/4[\) et calculer \(f'(x)\).

3. Montrer que \(f'(x)=\dfrac{5}{3}-\cos(f(x))\).

4. TAF : a) \(\exists\,c\in\,]x;3\pi/4[\,;\;f(x)-\pi=(x-3\pi/4)f'(c)\). b) Encadrement. c) Dérivabilité à gauche en \(3\pi/4\), interprétation graphique.

5. a) Tableau de variations. b) Concavité. c) Courbe.

6. Bijectivité, \(J\), et calculer \(f^{-1}(x)\).

Étude complète de \(f(x)=x^2\arctan(1/x)\) — parité, asymptote \(y=x\), bijectivité, suite \((a_n)\)

f(x)=x^2\arctan\!\left(\frac{1}{x}\right) \text{ pour }x\neq 0 \;;\quad f(0)=0

1. Parité de \(f\). 2. Continuité en \(0\). 3. Dérivabilité en \(0\), interprétation géométrique.

4. Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

5. a) TAF : \((\forall x>0)\,;\,\dfrac{x}{1+x^2}<\arctan x<x\). b) En déduire \(\dfrac{x^3}{1+x^2}<f(x)<x\). c) Asymptote \(y=x\) en \(+\infty\).

6. a) Montrer \(f'(x)=2x\arctan(1/x)-\dfrac{x^2}{1+x^2}\) pour \(x>0\). b) Montrer \(f\) strictement croissante sur \(\mathbb{R}^+\).

7. Tracer \((\mathscr{C}_f)\).

8. a) Bijectivité sur \(\mathbb{R}\). b) \((f^{-1})'(\pi/4)\) sachant que \(f(1)=\pi/4\).

9. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Suite \((a_n)\) définie par \(f(a_n)=1/n\) : monotonie, convergence, limite.

Étude de \(f(x)=2\!\left(\frac{1}{1-\sin x}-1\right)\) — \(f^{-1}\), suite \((u_n)\) via TAF et inégalités, \(\lim v_n\)

f(x)=2\!\left(\frac{1}{1-\sin x}-1\right), \quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right[

1. a) Bijectivité sur \([0;+\infty[\). b) \(f^{-1}(0)\) et \(f^{-1}(2)\).

2. a) Montrer \(1-\sin(f^{-1}(x))=\dfrac{2}{2+x}\) et \(\cos(f^{-1}(x))=\dfrac{2\sqrt{1+x}}{2+x}\). b) Dérivabilité de \(f^{-1}\). c) \((f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{(2+x)\sqrt{1+x}}\). d) \(0<(f^{-1})'(x)\leq\dfrac{1}{2}\).

3. Suite \((u_n)\) avec \(u_0=2\), \(u_{n+1}=f^{-1}(u_n)\) : a) \(0\leq u_n\leq 2\). b) TAF : \(0<u_{n+1}\leq\frac{1}{2}u_n\). c) Récurrence : \(0<u_n\leq(1/2)^{n-1}\). d) Limite.

4. Suite \((v_n)\) avec \(v_n=n\!\left(f^{-1}\!\left(u_n+\frac{2}{n}\right)-f^{-1}\!\left(u_n+\frac{1}{n}\right)\right)\) : a) TAF : \(\exists\,c_n\in\,]u_n+1/n;u_n+2/n[\,;\;v_n=\frac{1}{(2+c_n)\sqrt{1+c_n}}\). b) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=0\), puis \(\lim v_n\).

Étude de \(f(x)=\dfrac{\arctan(\sqrt{1-x})}{\sqrt{1-x}}\) sur \(]-\infty;1]\) — encadrement de \(f'\), dérivabilité, monotonie, Lipschitz

f(x)=\frac{\arctan(\sqrt{1-x})}{\sqrt{1-x}} \text{ pour }x<1 \;;\quad f(1)=1

1. a) Continuité sur \(]-\infty;1]\). b) Limite en \(-\infty\), interprétation graphique.

2. Via \(\varphi_a\) : montrer \(\dfrac{1}{3(2-x)}<\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}<\dfrac{1}{3}\) puis \(f'_-(1)=\dfrac{1}{3}\), interprétation géométrique.

3. a) Montrer \(f'(x)=\dfrac{1}{2(1-x)}\!\left(f(x)-\dfrac{1}{2-x}\right)\). b) TAF : \((\forall x>0)\,;\,\dfrac{x}{1+x^2}<\arctan x<x\). c) En déduire que \(f\) est strictement croissante. d) Tracer \((C)\).

4. a) Montrer que \(f'(x)<\dfrac{1}{2(2-x)}\). b) Déduire \((\forall x\leq 1)\,;\,|f'(x)|\leq\dfrac{1}{2}\). c) Déduire \((\forall(x,y)\in]-\infty;1]^2)\,;\,|f(x)-f(y)|\leq\dfrac{1}{2}|x-y|\).

∑

Suites numériques

Suites récurrentes · Convergence · Suites adjacentes · Synthèse · 48 exercices

Suites géom. & arithm. Récurrences linéaires Convergence & limites Suites adjacentes Encadrement & gendarmes

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Suite récurrente \(u_{n+1}=3u_n-1\) — changement \(a_n=u_n-\frac{1}{2}\)

u_0=1,\quad u_{n+1}=3u_n-1

1. Montrer que \((a_n)\) où \(a_n=u_n-\dfrac{1}{2}\) est une suite géométrique. Déterminer la raison et le premier terme.

2. En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

Suite \(v_{n+1}=-\dfrac{4v_n+1}{4v_n}\) — changement \(b_n=\dfrac{2}{2v_n+1}\)

v_0=\frac{1}{2},\quad v_{n+1}=-\frac{4v_n+1}{4v_n}

1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\;v_n\neq-\dfrac{1}{2}\).

2a) Montrer que \(b_n=\dfrac{2}{2v_n+1}\) est une suite arithmétique. Déterminer la raison et le premier terme.

2b) En déduire l'expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).

\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}\) — monotonie, changement \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1}\)

u_0=0,\quad u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n+2}

1a) Montrer que \(0\le u_n<1\) pour tout \(n\). 1b) Étudier la monotonie de \((u_n)\).

2a) Montrer que \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1}\) est une suite géométrique, puis exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

2b) En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\).

Suites couplées \(u_{n+1}=2v_n\), \(v_{n+1}=u_n+v_n\) — récurrence d'ordre 2

u_1=1,\;v_1=0,\quad u_{n+1}=2v_n,\quad v_{n+1}=u_n+v_n

1. Poser \(d_n=u_n-v_n\). Calculer \(d_{n+1}\) en fonction de \(d_n\), puis exprimer \(d_n\) en fonction de \(n\).

2. Montrer que \(u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).

3a) Montrer que \(x_n=u_{n+1}+u_n\) et \(y_n=u_{n+1}-2u_n\) sont deux suites géométriques, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). 3b) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Récurrence \((n+2)u_{n+1}=nu_n+1-n\) — solution particulière \(\alpha_n=an+b\), sommes \(S_n\) et \(T_n\)

(\forall n\in\mathbb{N}^*)\;(n+2)u_{n+1}=nu_n+1-n

1a) Calculer \(u_2\) et \(u_3\) en fonction de \(u_1\). 1b) Déterminer \(a\) et \(b\) tels que \(\alpha_n=an+b\) vérifie la relation de récurrence.

2a) Montrer que \(x_{n+1}=\dfrac{n}{n+2}x_n\). 2b) Exprimer \(x_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

2c) Calculer \(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\) et \(T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k\).

Sommes télescopiques — décomposition en éléments simples et suite avec racines

1. \(v_n=\displaystyle\sum_{p=1}^n\dfrac{1}{p(p+1)(p+2)}\) : a) Trouver \(a,b,c\) tels que \(\dfrac{1}{p(p+1)(p+2)}=\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p+1}+\dfrac{c}{p+2}\). b) Montrer que \(v_n=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{2n+4}\), puis calculer \(\lim v_n\).

2. \(w_n=\dfrac{1}{n+1}\!\left(1+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\right)\) : a) Déterminer \(w_n\) en fonction de \(n\). b) Calculer \(\lim w_n\).

Calcul de limites — 6 suites classiques

1. \(u_n=\dfrac{\cos n}{n}\) 4. \(u_n=\dfrac{n-(-1)^n}{n+(-1)^n}\)

2. \(u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\) 5. \(u_n=\dfrac{1}{n^3}\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2\)

3. \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) 6. \(u_n=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^n E(kx)\)

\(u_{n+1}=u_n+\alpha^n\) — convergence selon \(\alpha\in\mathbb{R}\)

u_0=1,\quad u_{n+1}=u_n+\alpha^n,\quad \alpha\in\mathbb{R}

Étudier la convergence de la suite \((u_n)\) selon les valeurs de \(\alpha\).

Suite d'entiers naturels strictement croissante — \(u_n\ge n\) et limite

1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\;u_n\ge n\).

2. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Somme télescopique avec \(\arctan\) — \(S_n=\sum_{k=1}^n\arctan\!\left(\dfrac{1}{1+k+k^2}\right)\)

1. Montrer que \(\arctan\!\left(\dfrac{1}{1+x+x^2}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)-\arctan\!\left(\dfrac{1}{1+x}\right)\) pour \(x\in\mathbb{R}^+\).

2a) Calculer \(\lim u_n\) où \(u_n=\arctan\!\left(\dfrac{1}{1+n+n^2}\right)\). 2b) Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\) puis calculer \(\lim S_n\).

\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+2}\) — monotonie, changement \(v_n=\dfrac{u_n-\sqrt{3}}{u_n+\sqrt{3}}\)

u_0=1,\quad u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2}

1a) Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante. 1b) Montrer que \(u_n<2\).

2a) Montrer que \(v_n=\dfrac{u_n-\sqrt{3}}{u_n+\sqrt{3}}\) est géométrique. 2b) Exprimer \(u_n\). 2c) Calculer \(\lim u_n\).

\(u_n=\dfrac{n}{2^n}+1\) — décroissance, convergence, encadrement par \(\mathrm{C}_n^2\)

u_n=\frac{n}{2^n}+1,\quad n\ge 1

1a) Montrer que \((u_n)\) est décroissante. 1b) Montrer que \((u_n)\) est convergente.

2a) Montrer que \(2^n>\mathrm{C}_n^2\) pour \(n\ge 2\). 2b) En déduire \(1<u_n<\dfrac{2}{n-1}+1\). 2c) Calculer \(\lim u_n\).

Récurrence \(\dfrac{1}{u_{n+2}}=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{u_{n+1}}+\dfrac{1}{u_n}\right)\) — suite géométrique \(v_n=\dfrac{1}{u_n}-\dfrac{4}{3}\)

u_0=\tfrac{1}{2},\;u_1=1,\quad \frac{1}{u_{n+2}}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{u_{n+1}}+\frac{1}{u_n}\right)

1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\).

2. Montrer par récurrence que \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{4u_n-1}\).

3. Montrer que \(\dfrac{1}{2}\le u_n\le 1\).

4. Poser \(v_n=\dfrac{1}{u_n}-\dfrac{4}{3}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis exprimer \(v_n\) et \(u_n\).

5. Calculer \(\lim u_n\).

\(u_n=\left(1-\dfrac{1}{2n}\right)u_{n-1}\) — encadrement via \(v_n=u_n\sqrt{n+1}\) et \(w_n=u_n\sqrt{n}\)

u_0=\tfrac{1}{2},\quad u_n=\left(1-\frac{1}{2n}\right)u_{n-1}

1. Montrer que \((\forall x\in\,]0,1[)\;\sqrt{1-x}<1-\dfrac{x}{2}<\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\).

2. Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).

3a) Montrer que \(v_n=u_n\sqrt{n+1}\) est décroissante et que \(u_n<\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}\).

3b) Montrer que \(w_n=u_n\sqrt{n}\) est croissante et que \(u_n\ge\dfrac{1}{4\sqrt{n}}\).

3c) Étudier la convergence de \((u_n)\).

\(u_{n+1}=\sqrt[3]{\dfrac{1+u_n^3}{8}}\) — changement \(v_n=\dfrac{7}{8}u_n^3-\dfrac{1}{8}\)

u_0=\sqrt[3]{\tfrac{2}{7}},\quad u_{n+1}=\sqrt[3]{\frac{1+u_n^3}{8}}

1a) Montrer que \(u_n>\sqrt[3]{\dfrac{1}{7}}\). 1b) En déduire que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\). 1c) Montrer la convergence.

2a) Montrer que \(v_n=\dfrac{7}{8}u_n^3-\dfrac{1}{8}\) est géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{8}\). 2b) Exprimer \(u_n\) puis calculer \(\lim u_n\).

Convergence de \(\sum\dfrac{1}{k^2}\) et \(\sum\dfrac{1}{k2^k}\) — majorations et monotonie

1. Montrer que \(2^n>n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2. Montrer que \(x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}\) est croissante et majorée, puis conclure sur sa convergence.

3. Montrer que \(y_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k2^k}\) est majorée et convergente.

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2}{u_n^2+1}\) — encadrement \(2-u_{n+1}\le\dfrac{4}{5}(2-u_n)\), convergence

u_0=1,\quad u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{u_n^2+1}

1. Montrer que \(0<u_n<2\) pour tout \(n\).

2. Étudier la monotonie de \((u_n)\).

3a) Montrer que \(2-u_{n+1}\le\dfrac{4}{5}(2-u_n)\). 3b) En déduire que \(0<2-u_n\le\left(\dfrac{4}{5}\right)^n\). 3c) Conclure et calculer \(\lim u_n\).

\(u_{n+1}=\dfrac{2u_n^2-3}{u_n+2}\), \(u_0=4\) — \(u_n>3\), divergence

u_0=4,\quad u_{n+1}=\frac{2u_n^2-3}{u_n+2}

1. Montrer que \(u_n>3\) pour tout \(n\).

2. Étudier la monotonie de \((u_n)\).

3a) Montrer que \(u_{n+1}-3>\dfrac{3}{2}(u_n-3)\). 3b) En déduire \(u_n\ge\left(\dfrac{3}{2}\right)^n+3\). 3c) Calculer \(\lim u_n\).

\(u_{n+1}=u_n^2+u_n\) — \(u_n\ge 2^n\), suite \(v_n=\sum\dfrac{1}{u_k+1}\) convergente

u_0=1,\quad u_{n+1}=u_n^2+u_n

1a) Montrer que \((u_n)\) est croissante. 1b) Montrer que \(u_n\ge 2^n\) et déduire \(\lim u_n\).

2a) Vérifier que \(\dfrac{1}{1+u_k}=\dfrac{1}{u_k}-\dfrac{1}{u_{k+1}}\). 2b) En déduire que \((v_n)\) est convergente.

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{1+u_n^2}}\) — convergence, \(\lim nu_n^2=1\)

u_0=1,\quad u_{n+1}=\frac{u_n}{\sqrt{1+u_n^2}}

1. Montrer que \((u_n)\) est convergente, puis calculer \(\lim u_n\).

2. Calculer de deux façons \(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nv_k\) où \(v_k=\dfrac{1}{u_k^2}-\dfrac{1}{u_{k-1}^2}\), puis déduire \(\lim nu_n^2=1\).

\(u_{n+1}=\dfrac{2}{3}\!\left(u_n+\dfrac{1}{u_n^2}\right)\), \(u_0>3\sqrt{2}\) — convergence vers \(3\sqrt{2}\)

u_0>3\sqrt{2},\quad u_{n+1}=\frac{2}{3}\!\left(u_n+\frac{1}{u_n^2}\right)

1. Montrer que \(u_n>0\).

2a) Montrer que \(u_{n+1}-3\sqrt{2}=\dfrac{2u_n+3\sqrt{2}}{3u_n^2}(u_n-3\sqrt{2})^2\). 2b) Montrer que \(u_n\ge 3\sqrt{2}\). 2c) Montrer que \((u_n)\) est décroissante.

3a) Montrer que \(u_{n+1}-3\sqrt{2}\le\dfrac{2}{3}(u_n-3\sqrt{2})\). 3b) En déduire \(u_n-3\sqrt{2}\le\left(\dfrac{2}{3}\right)^n(u_0-3\sqrt{2})\). 3c) Calculer \(\lim u_n\).

\(u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}}\) — monotonie, récurrence \(u_n=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)\)

u_0=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}}

1. Montrer que \(0\le u_n\le 1\).

2. Étudier la monotonie et déduire la convergence.

3. Montrer par récurrence que \(u_n=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)\), puis calculer \(\lim u_n\).

Suite définie par \(f(x)=\dfrac{9x}{x^3+6}\) — monotonie sur \(I=[0;\sqrt[3]{3}]\), convergence

f(x)=\frac{9x}{x^3+6},\quad u_0=1,\quad u_{n+1}=f(u_n)

1. Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(I=[0;\sqrt[3]{3}]\) et \(f(I)=I\).

2. Montrer que \(1\le u_n\le\sqrt[3]{3}\).

3. Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.

4. En déduire la convergence et calculer la limite.

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n+\alpha}{u_n+1}\), \(\alpha\in\,]0,1[\) — convergence, suite \(v_n=\sum\dfrac{u_k}{k!}\)

u_0\in[0;\sqrt{\alpha}],\quad u_{n+1}=\frac{u_n+\alpha}{u_n+1},\quad \alpha\in\,]0;1[

1a) Montrer que \(0\le u_n\le\sqrt{\alpha}\). 1b) Montrer que \((u_n)\) est convergente et calculer sa limite.

2a) Pour \(k\ge 2\), vérifier que \(k!\ge 2^{k-1}\), puis en déduire \(v_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{u_k}{k!}<3\sqrt{\alpha}\). 2b) En déduire que \((v_n)\) est convergente.

\(x_{n+1}=x_n+1-\sqrt{1+x_n^2}\) — décroissance, convergence, limite nulle

x_0=\tfrac{1}{2},\quad x_{n+1}=x_n+1-\sqrt{1+x_n^2}

1. Montrer que \(0<x_n<1\).

2. Montrer que \((x_n)\) est décroissante.

3. Déduire la convergence et calculer la limite.

\(u_{n+1}=\dfrac{7}{u_n+6}\) — sous-suites \(x_n=u_{2n}\), \(y_n=u_{2n+1}\) adjacentes

u_1=2,\quad u_{n+1}=\frac{7}{u_n+6},\quad u_n>0

1. Exprimer \(x_{n+1}\) en fonction de \(x_n\) et \(y_{n+1}\) en fonction de \(y_n\).

2a) Montrer que \(x_n<1<y_n\). 2b) Montrer que \((x_n)\) est croissante et \((y_n)\) est décroissante.

3. Montrer que \(|1-u_n|<\dfrac{1}{6^{n-1}}\) pour \(n\ge 2\).

4. En déduire que \((x_n)\) et \((y_n)\) sont adjacentes.

\(s_n=\sum_{p=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{p}}\) — \(\lim\dfrac{s_n}{\sqrt{n}}=2\), suites \((u_n)\) et \((v_n)\) adjacentes

1a) Montrer que \(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\dfrac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\). 1b) Montrer que \(\lim s_n=+\infty\) et \(\lim\dfrac{s_n}{\sqrt{n}}=2\).

2. \(u_n=s_n-2\sqrt{n}\) : a) Montrer que \((u_n)\) est décroissante. b) Montrer que \(u_n>-2\). Que peut-on conclure ?

3. \(v_n=s_n-2\sqrt{n+1}\) : Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.

Suites \(a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\), \(b_{n+1}=\dfrac{2a_nb_n}{a_n+b_n}\) — adjacentes, limite \(\sqrt{ab}\)

a_0=a>b>0,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}

1. Montrer que \(a_n>b_n>0\).

2. Montrer que \((a_n)\) est décroissante et \((b_n)\) est croissante.

3. Montrer que \(a_{n+1}-b_{n+1}<\dfrac{1}{2}(a_n-b_n)\).

4. En déduire que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes.

5. Montrer que \((a_n\times b_n)\) est constante et déduire la limite commune.

Moyenne arithmético-géométrique : \(u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\), \(v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\)

u_0=a,\;v_0=b,\;0<a<b,\quad u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n},\quad v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}

1. Montrer que \(0<u_n<v_n\) pour tout \(n\).

2. Étudier la monotonie de \((u_n)\) et \((v_n)\).

3. Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.

\(u_{n+1}=2+\dfrac{1}{u_n}\) — sous-suites \(a_n=u_{2n}\), \(b_n=u_{2n+1}\) adjacentes, limite \(1+\sqrt{2}\)

u_0=2,\quad u_{n+1}=2+\frac{1}{u_n}

1. Montrer que \(2\le u_n\le 3\).

2. Exprimer \(a_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(b_n\).

3a) Montrer que \(0<a_n<b_n\). 3b) Étudier la monotonie de \((a_n)\) et \((b_n)\).

4a) Montrer que \(b_{n+1}-a_{n+1}\le\dfrac{1}{25}(b_n-a_n)\). 4b) En déduire que les suites sont adjacentes et calculer leur limite commune.

\(u_n=2^{n+1}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2^n}\right)\), \(v_n=2^{n+1}\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2^n}\right)\) — adjacentes, limite \(2\pi\)

u_n=2^{n+1}\sin\!\left(\frac{\pi}{2^n}\right),\quad v_n=2^{n+1}\tan\!\left(\frac{\pi}{2^n}\right),\quad n\ge 2

1. Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante et \((v_n)\) strictement décroissante.

2a) Montrer que \(u_n<v_n\). 2b) Montrer que \(\lim(u_n-v_n)=0\).

3. En déduire la convergence et calculer les limites.

\(u_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_n}\) — sous-suites \(x_n\), \(y_n\) adjacentes, convergence vers le nombre d'or

u_0=1,\quad u_{n+1}=\frac{1}{1+u_n}

1. Montrer que \(f(x)=\dfrac{1}{1+x}\) est décroissante sur \([0;+\infty[\).

2a) Montrer par récurrence que \((x_n)\) est croissante et \((y_n)\) décroissante. 2b) Montrer que \(x_n\le y_n\).

3a) Montrer que \(\dfrac{1}{2}\le u_n\le 1\). 3b) Montrer que \(|u_{n+1}-u_n|\le\left(\dfrac{4}{9}\right)^n\).

4a) Montrer que \((x_n)\) et \((y_n)\) sont adjacentes et calculer leur limite. 4b) Montrer que \((u_n)\) converge puis calculer \(\lim u_n\).

🔮 Exercices de synthèse Ex. 33–48

\(u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}\) — divergence, \(\lim\dfrac{\sqrt{2n}}{u_n}=1\)

u_0=1,\quad u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}

1a) Montrer que \(u_n\ge 1\). 1b) Étudier la monotonie.

2a) Montrer que \(2\le u_n^2-u_{n-1}^2\le 2+u_n-u_{n-1}\) puis \(2n\le u_n^2-1\le 2n+u_n-1\). 2b) Déduire que \((u_n)\) diverge.

3a) Montrer que \(1-\dfrac{1}{u_n}\le\dfrac{2n}{u_n^2}\le 1-\dfrac{1}{u_n^2}\). 3b) En déduire \(\lim\dfrac{\sqrt{2n}}{u_n}=1\).

\(u_{n+1}=\sqrt{n+1+u_n}\) — \(\sqrt{n}\le u_n\le\sqrt{2n}\), \(\lim\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}=1\), \(v_n=u_n-\sqrt{n}\) convergente

u_0=1,\quad u_{n+1}=\sqrt{n+1+u_n}

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\) et montrer que \(u_n>0\).

2. Montrer que \((\forall x\ge 0)\;\sqrt{x}\le\dfrac{1}{2}(1+x)\).

3a) Montrer que \(\sqrt{n}\le u_n\). 3b) Montrer par récurrence que \(u_n\le n+\dfrac{1}{2^n}\). 3c) Montrer que \(u_n\le\sqrt{2n}\) et en déduire \(\lim\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}=1\).

4. Montrer que \(v_n=u_n-\sqrt{n}\) est convergente.

\(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\sin\!\left(\dfrac{k}{n^2}\right)\) — encadrement, limite \(\dfrac{1}{2}\)

u_n=\sum_{k=1}^n\sin\!\left(\frac{k}{n^2}\right)

1a) Montrer que \(x-\dfrac{x^3}{6}\le\sin x\le x\) pour \(x\ge 0\). 1b) En déduire un encadrement de \(u_n\). 1c) Montrer que \(\sum_{k=1}^nk^3\le n^4\).

2. Calculer \(\lim u_n\).

\(u_{n+1}=u_n+\dfrac{a_n}{u_n}\) avec \(a_n=(1-\alpha)^n\) — convergence

a_n=(1-\alpha)^n,\quad 0<\alpha<1,\quad u_0>0,\quad u_{n+1}=u_n+\frac{a_n}{u_n}

1. Montrer que \((a_n)\) et \((S_n)=\sum_{k=0}^na_k\) convergent, et calculer leurs limites.

2a) Montrer que \(u_n>0\) et que \((u_n)\) est strictement croissante. 2b) Montrer que \(u_n\le u_0+\dfrac{1}{\alpha u_0}\). 2c) En déduire la convergence.

Trois suites convergentes — somme Riemann, produit avec \(\cos\), suite des \(\tan\)

1. \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+1}\dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}\) : Montrer que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

2. \(v_n=\sin\!\left(\dfrac{a}{2^n}\right)\displaystyle\prod_{k=1}^n\cos\!\left(\dfrac{a}{2^k}\right)\) : Montrer que \((v_n)\) est convergente.

3a) Vérifier que \(\tan x=\cot x-2\cot(2x)\). 3b) \(w_n=\displaystyle\sum_{p=0}^n\dfrac{1}{2^p}\tan\!\left(\dfrac{\theta}{2^p}\right)\) : Calculer \(\lim w_n\).

Suite définie par \(f_n(x)=x^3+nx-1\) — unique zéro, décroissante, \(x_n<\dfrac{1}{n}\)

f_n(x)=x^3+nx-1,\quad n\in\mathbb{N}^*

1. Montrer que \(f_n(x)=0\) admet une solution unique \(x_n\in\,]0;1[\).

2. Montrer que \((x_n)\) est strictement décroissante et convergente.

3. Montrer que \(0<x_n<\dfrac{1}{n}\) puis calculer \(\lim x_n\).

\(f_n(x)=2x^3-x^2+2(n+1)x-1\) — \(\alpha_n\) décroissante, encadrement, limite

$$f_n(x)=2x^3-x^2+2(n+1)x-1$$

1a) Montrer que \(f_n(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha_n\in[0;1]\). 1b) Déterminer le signe de \(f_{n+1}(x)-f_n(x)\). 1c) En déduire que \((\alpha_n)\) est décroissante et convergente.

2a) Montrer que \(-\dfrac{1}{2n+2}\le\alpha_n\le\dfrac{1}{n+1}\). 2b) En déduire \(\lim\alpha_n\).

\(P_n(x)=x^n+\cdots+x-1\) — unique \(\alpha_n\in[0;1]\), décroissante, \(2\alpha_n-\alpha_n^{n+1}=1\), limite \(\dfrac{1}{2}\)

P_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1,\quad n\in\mathbb{N}^*

1. Montrer que \(P_n(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha_n\in[0;1]\).

2a) Montrer que \(P_{n+1}(x)>P_n(x)\) pour \(x>0\). 2b) En déduire que \((\alpha_n)\) est strictement décroissante.

3a) Montrer que \(P_n(x)=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}-2\) pour \(x\ne 1\). 3b) En déduire \(2\alpha_n-\alpha_n^{n+1}=1\). 3c) Vérifier que \(\alpha_n<\alpha_2\) pour \(n\ge 2\) et déduire \(\lim\alpha_n^n=0\). 3d) Montrer que \((\alpha_n)\) converge et déterminer sa limite.

Suite de Fibonacci — \(u_n\ge n\), identité de Cassini, suites adjacentes \(\alpha_n\) et \(\beta_n\)

u_0=u_1=1,\quad u_{n+2}=u_{n+1}+u_n

I – 1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\). 2a) Montrer par récurrence \(u_n\ge n\). 2b) Montrer \(u_nu_{n+2}+(-1)^{n+1}=(u_{n+1})^2\).

II – 1a) Montrer que \(\beta_n-\alpha_n=\dfrac{1}{u_{2n}u_{2n+1}}\). 1b) En déduire \(\alpha_n<\beta_n\) et \(0<\beta_n-\alpha_n<\dfrac{1}{n}\).

2a) Montrer que \(\alpha_{n+1}-\alpha_n=\dfrac{1}{u_{2n}u_{2n+2}}\). 2b) Montrer que \(\alpha_n=\dfrac{1}{\beta_n}-1\). 2c) Déduire la monotonie.

3a) Montrer que \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) sont adjacentes. 3b) Calculer leur limite commune (nombre d'or).

Suites \(a_n=na_{n-1}+a_{n-2}\), \(b_n=nb_{n-1}+b_{n-2}\) — \(u_n\) et \(v_n\) adjacentes

a_0=0,\;a_1=1,\;a_n=na_{n-1}+a_{n-2}\qquad b_0=b_1=1,\;b_n=nb_{n-1}+b_{n-2}

1a) Montrer que \(a_{n-1}b_n-a_nb_{n-1}=(-1)^n\). 1b) Montrer que \((b_n)\) est croissante et \(b_n>(n+1)b_{n-2}\).

2a) Montrer que \(0<u_n-v_n<\dfrac{2}{(n+1)!}\). 2b) Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.

\(\lim u_n=\ell\) ssi \(\lim x_n=\lim y_n=\ell\) — séries alternées, convergence de \(\sum\dfrac{(-1)^k}{k!}\)

1. Montrer que \(\left(\lim u_n=\ell\right)\Longleftrightarrow\left(\lim x_n=\ell\text{ et }\lim y_n=\ell\right)\).

2a) Soit \((v_n)\) décroissante avec \(\lim v_n=0\), \(u_n=\sum_{k=0}^n(-1)^kv_k\) : montrer que \((x_n)\) et \((y_n)\) sont adjacentes. 2b) Montrer que \(a_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\) est convergente.

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{1-2u_n^2}\), \(a\in\left]0,\tfrac{1}{4}\right]\) — \(s_n=\sum(-1)^ku_k\) convergente

u_0=a\in\left]0;\tfrac{1}{4}\right],\quad u_{n+1}=\frac{u_n^2}{1-2u_n^2}

1a) Montrer que \(0<u_n<\dfrac{1}{4}\) et que \((u_n)\) est décroissante. 1b) Montrer que \(\lim u_n=0\).

2a) Montrer que \((v_n)\) et \((w_n)\) sont adjacentes. 2b) Montrer que \(u_{n+1}\le\dfrac{2}{7}u_n\). 2c) En déduire \(|s_n-v_n|\le a\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\dfrac{2}{7}\right)^k\). 2d) Déduire \(\lim s_n=\ell\).

\(u_{n+1}=u_n-u_n^2\) — selon \(u_0\) : convergence, divergence, \(0<u_n<\dfrac{1}{n+1}\)

u_{n+1}=u_n-u_n^2

I – 1. Nature de \((u_n)\) si \(u_0=0\) ou \(u_0=1\). 2a) Montrer que \((u_n)\) est décroissante. 2b) Si \((u_n)\) converge, montrer que \(\lim u_n=0\). 2c) Si \(u_0<0\) ou \(u_0>1\), montrer que \(\lim u_n=-\infty\).

II – 1a) Montrer que \(0<u_n<1\). 1b) Déduire la convergence.

2a) Montrer que \(\sum_{k=0}^nu_k^2=u_0-u_{n+1}\), puis \(\lim\sum u_k^2=u_0\). 2b) \(0<\dfrac{u_k^2}{1+u_k}<u_k^2\). 2c) Montrer que \(s_n=\sum\dfrac{u_k^2}{1+u_k}\) converge.

3a) Montrer que \(\dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n}>1\). 3b) En déduire \(0<u_n<\dfrac{1}{n+1}\).

\(u_{n+1}=k+\dfrac{1}{u_n}\), \(k\in\mathbb{N}^*\) — sous-suites \(x_n=u_{2n}\), \(y_n=u_{2n+1}\) adjacentes

u_0=k,\quad u_{n+1}=k+\frac{1}{u_n},\quad k\in\mathbb{N}^*

1a) Calculer \(u_1\) et \(u_2\). 1b) Montrer que \(k\le u_n\le k+1\).

2a) Exprimer \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\). 2b) Montrer que \(x_n<y_n\). 2c) Étudier la monotonie. 2d) Montrer que \(y_{n+1}-x_{n+1}\le\dfrac{y_n-x_n}{(1+k^2)^2}\). 2e) En déduire que les suites sont adjacentes et calculer leur limite commune.

Récurrence d'ordre 4 : \(\alpha_{n+4}=\dfrac{1}{4}\sum\alpha_{n+k}\) — suites \((a_n)\), \((b_n)\) adjacentes, \((\alpha_n)\) convergente

\alpha_{n+4}=\frac{1}{4}(\alpha_n+\alpha_{n+1}+\alpha_{n+2}+\alpha_{n+3})

1. Montrer que \(a_n\le\alpha_{n+4}\) puis que \((a_n)\) est croissante.

2. Montrer que \(b_n\ge\alpha_{n+4}\) puis que \((b_n)\) est décroissante.

3a) Montrer que \(a_0\le a_n\le\alpha_n\le b_n\le b_0\). 3b) Montrer que \((a_n)\) et \((b_n)\) convergent.

4a) Montrer que \(\alpha_{n+4}\le\dfrac{1}{4}a_n+\dfrac{3}{4}b_n\). 4b) En déduire \(\alpha_{n+4}\le\dfrac{3}{4}b_n+\dfrac{1}{4}a\). 4c) Montrer que \(b\le a\).

5. Montrer que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes.

6. Montrer que \((\alpha_n)\) est convergente et calculer sa limite.

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\), \(v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n}\) — adjacentes, \(\lim v_n=\dfrac{v_0\sin\alpha}{\alpha}\)

0<u_0<v_0,\quad u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2},\quad v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n}

1. Montrer que \(u_n>0\), \(v_n>0\) et \(u_n<v_n\).

2. Montrer que \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.

3a) Montrer que \(0<v_n-u_n<\dfrac{1}{2^n}(v_0-u_0)\). 3b) En déduire que les suites sont adjacentes.

4a) Si \(u_0=v_0\cos\alpha\) : montrer que \(u_n=v_n\cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2^n}\right)\). 4b) En déduire \(v_n=v_0\dfrac{\sin\alpha}{2^n\sin(\alpha/2^n)}\). 4c) Calculer \(\lim v_n\). 4d) Calculer \(\lim u_n\) si \(v_0=2\), \(u_0=1\).

Fonctions logarithmiques

Équations & inéquations · Dérivées · Étude de fonctions · Synthèse · 32 exercices

Équations logarithmiques Inéquations Limites & branches infinies Dérivées Suites & logarithmes

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Équations logarithmiques dans \(\mathbb{R}\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1) \(\ln(x^2) = 16\)

2) \((\ln(x))^2 = 16\)

3) \(\ln(x^2 - 4) - \ln(1 - 4x) = 0\)

4) \(\ln(x - 2) + \ln(4 - x) = \ln(2x - 5)\)

5) \(\ln(4x + 2) - \ln(x - 1) = 2\ln(x)\)

6) \((\ln(x))^2 - \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = 2\)

7) \(\ln(10 - x^2) = 2\ln(3) - \ln(x^2)\)

Inéquations logarithmiques dans \(\mathbb{R}\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :

1) \(\ln x < 3\ln(2) - \ln(3)\)

2) \(\ln(x^2 - 1) < 0\)

3) \(\ln(\ln(x)) > 0\)

4) \((1 - \ln(x))(3 + \ln(x)) \ge 0\)

5) \(\dfrac{2 + \ln(x)}{2\ln(x) - 1} < 0\)

6) \(\ln(x + 6) > 2\ln x\)

Systèmes d'équations logarithmiques dans \(\mathbb{R}^2\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) les systèmes suivants :

1) \(\begin{cases}\ln(x)-\ln(y)=2\\2\ln(x)-3\ln(y)=5\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}\ln(x^2\cdot y^3)=-4\\\ln\!\left(\dfrac{x^3}{y^4}\right)=11\end{cases}\)

3) \(\begin{cases}(\ln(x))\cdot(\ln(y))=-15\\\ln(xy)=-2\end{cases}\)

4) \(\begin{cases}x^2+y^2=10\\\ln(x)+\ln(y)=\ln(3)\end{cases}\)

Inégalité \((\ln(a-b))(\ln(a+b))\le(\ln a)^2\)

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a>1\) et \(0\le b<a\). Montrer que : \((\ln(a-b))\cdot(\ln(a+b))\le(\ln(a))^2\).

Ensembles de définition

Déterminer \(D\) l'ensemble de définition de \(f\) dans chacun des cas :

1) \(f(x)=\ln|x-1|+\ln(x)\)

2) \(f(x)=x\ln\!\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)\)

3) \(f(x)=\dfrac{\ln(x)}{1-\ln(x)}\)

4) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{\ln(x)}}{x-2}\)

5) \(f(x)=\dfrac{1}{2}\ln\!\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\)

6) \(f(x)=\ln(k^2-2k\cos(x)+1)\) où \(k\in\mathbb{R}\)

Calcul de limites (I)

Calculer les limites suivantes :

1) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2(x)}{x^3}\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2(x)}{\sqrt{x}}\)

3) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+x)}{x^2}\)

4) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\ln(x^2-x+1)}{2x+1}\)

5) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+2)}{\ln(2x+1)}\)

6) \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^3\ln^2(x)\)

7) \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\sqrt[3]{x}\cdot\ln^2(x)\)

8) \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\cdot\sqrt{|\ln x|}\)

9) \(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\!\left(\frac{2x}{x-1}+\ln(x-1)\right)\)

10) \(\displaystyle\lim_{x\to 2^+}(x-2)\ln(x^2-2x)\)

Calcul de limites (II)

Calculer les limites suivantes :

1) \(\displaystyle\lim_{|x|\to+\infty}\ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)

2) \(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\ln\!\left(\frac{x}{x-1}\right)\)

3) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}2x^2-x-\ln(x+1)\)

4) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}3x-\ln(x^2+1)\)

5) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)\)

6) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\)

7) \(\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x}{x-3}\cdot\ln\!\left(\frac{x}{3}\right)\)

8) \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\cdot\ln(\cos x)\)

9) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2(x)-\ln(x)}{1+2\ln(x)}\)

10) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+1+\sqrt{x^2+1})}{2x}\)

Fonctions dérivées de fonctions logarithmiques

Déterminer la fonction dérivée de \(f\) dans chacun des cas :

1) \(f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}\)

2) \(f(x)=\dfrac{x\ln|x|}{x-1}\)

3) \(f(x)=x\ln\!\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\)

4) \(f(x)=x\!\left(1-\dfrac{1}{\ln(x)}\right)^2\)

5) \(f(x)=x^2\cdot\sqrt{|\ln x|}\)

6) \(f(x)=\sqrt{1-\ln(x-1)}\)

7) \(f(x)=x\ln(x)-(1-x)\ln(1-x)\)

8) \(f(x)=\ln(x-1+\sqrt{x^2-2x+2})\)

\(f(x)=\ln(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\) — dérivabilité aux bornes

f(x)=\ln\!\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)

1. Déterminer \(D\) l'ensemble de définition de \(f\).

2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(-1\) et à gauche en \(1\).

3. Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in D\setminus\{1;-1\}\).

\(u(x)=x-\ln(x+1)\) — variations, encadrement de \(e\)

u(x)=x-\ln(x+1),\quad x\in\,]-1;+\infty[

1. Dresser le tableau de variations de \(u\).

2. En déduire que : \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\;;\;\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n < e\).

\(f(x)=\ln\left|1-\dfrac{1}{x}\right|\) — étude complète, centre de symétrie

f(x)=\ln\left|1-\frac{1}{x}\right|

1a) Déterminer \(D\). 1b) Limites aux bornes de \(D\).

2a) Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations. 2b) Montrer que \(A\!\left(\frac{1}{2},0\right)\) est un centre de symétrie de \((\mathcal{C})\).

3. Construire \((\mathcal{C})\).

🔮 Exercices de synthèse Ex. 12–32

\(f(x)=\dfrac{1}{\ln x}+\ln(|\ln x|)\) — étude complète, inflexion

f(x)=\frac{1}{\ln(x)}+\ln(|\ln(x)|)

1a) Déterminer \(D\). 1b) Calculer \(\lim_{x\to 0^+}f(x)\), \(\lim_{x\to 1^+}f(x)\), \(\lim_{x\to 1^-}f(x)\), \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\). 1c) Branches infinies.

2a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{-1+\ln(x)}{x(\ln x)^2}\). 2b) Tableau de variations.

3a) Montrer que \(f''(x)=\dfrac{\ln(x)\cdot(2-(\ln x)^2)}{(x\ln^2 x)^2}\). 3b) Points d'inflexion.

4. Construire \((\mathcal{C})\).

\(f(x)=\dfrac{x+1}{\ln(\ln x)}\) — étude via fonction auxiliaire \(g\)

g(x)=\ln(\ln x)-\frac{x+1}{x\ln x},\quad f(x)=\frac{x+1}{\ln(\ln x)}\;(x>1,\,x\ne e)

Partie 1. 1) \(D_g\) et limites aux bornes. 2) Variations de \(g\). 3a) Montrer que \(g(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) avec \(6{,}4<\alpha<6{,}5\). 3b) Signe de \(g\).

Partie 2. 1a) Continuité à droite en \(1\). 1b) Dérivabilité à droite en \(1\). 2a) \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\). 2b) \(\lim_{x\to e^+}f(x)\) et \(\lim_{x\to e^-}f(x)\). 3) Branches infinies. 4a) Tableau de variations. 4b) Courbe \((\mathcal{C})\).

\(f(x)=\dfrac{\sqrt{\ln(1-x)}}{1-x}\) — étude complète

f(x)=\frac{\sqrt{\ln(1-x)}}{1-x}

1a) Déterminer \(D\). 1b) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\), branche infinie en \(-\infty\).

2. Dérivabilité à gauche en \(x_0=0\) ; interprétation géométrique.

3a) \(f'(x)\) pour \(x\in D\setminus\{0\}\), tableau de variations. 3b) Courbe \((\mathcal{C})\).

\(f(x)=\ln((\sqrt{x-1}-1)^2)\) — concavité, tangente

f(x)=\ln\!\left((\sqrt{x-1}-1)^2\right)

1. \(D\), limites aux bornes. 2. Dérivabilité à droite en \(1\). 3. Variations. 4a) Branches infinies. 4b) Concavité. 5a) Tangente \((T)\) en \(x=5\). 5b) Courbe \((\mathcal{C})\) et \((T)\).

\(f(x)=\dfrac{\ln|x(x+2)|}{(x+1)^2}\) — axe de symétrie \(x=-1\)

g(x)=\frac{(x+1)^2}{x(x+2)}-\ln|x(x+2)|,\quad f(x)=\frac{\ln|x(x+2)|}{(x+1)^2}

Partie 1. 1) Tableau de variations de \(g\). 2a) \(g(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) sur \(]0;+\infty[\). 2b) Signe de \(g\).

Partie 2. 1) Montrer que \(x=-1\) est axe de symétrie de \((\mathcal{C}_f)\). 2a) \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim_{x\to 0^+}f(x)\). 2b) Continuité en \(-1\). 3) \(f'(x)=\frac{2}{(x+1)^3}\cdot g(x)\). 4) Tableau de variations. 5) Courbe \((\mathcal{C}_f)\).

Suite \((u_{n+1})^2=4u_n\) — via \(v_n=\ln(u_n)-\ln 4\)

u_1=1,\quad(u_{n+1})^2=4u_n

1. Écrire \(u_2\) et \(u_3\) sous la forme \(2^\alpha\).

2. Soit \(v_n=\ln(u_n)-\ln(4)\). a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique ; raison et premier terme. b) En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\).

Encadrement de \(\ln(1+a)\), limite de \(P_n=\prod_{k=1}^n\!\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\)

1a) Tableaux de variations de \(u(x)=x-1-\ln x\) et \(v(x)=\frac{x^2}{2}-2x+\frac{3}{2}+\ln x\). 1b) En déduire \(a-\frac{a^2}{2}<\ln(1+a)<a\) pour \(a\in\,]0;+\infty[\).

2a) Montrer l'encadrement de \(\ln(P_n)\). 2b) Déduire \(\lim_{n\to+\infty}P_n\).

\(f_n(x)=x-n+\frac{n}{2}\ln x\) — suite \((\alpha_n)\), convergence

f_n(x)=x-n+\frac{n}{2}\ln x,\quad n\in\mathbb{N}^*

1. Tableau de variations de \(f_n\). 2a) Existence et unicité de \(\alpha_n\). 2b) \(1\le\alpha_n<e^2\). 2c) \(\ln(\alpha_n)=2-\frac{2}{n}\alpha_n\). 3. \(f_{n+1}(\alpha_n)\) en fonction de \(\alpha_n\) et \(n\) ; déduire \(\alpha_{n+1}>\alpha_n\). 4a) Convergence. 4b) \(\lim_{n\to+\infty}\ln(\alpha_n)\).

\(u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\) — constante d'Euler \(\gamma\)

Partie 1. a) \(u_1,u_2,u_3\). b) Montrer \(\ln(1+x)\le x\) et \(\frac{x}{x+1}\le\ln(1+x)\), puis \(\frac{1}{1+k}\le\ln(1+k)-\ln k\le\frac{1}{k}\). c) Montrer \(\ln(1+n)\le u_n\le 1+\ln n\). d) \(\lim u_n\).

Partie 2. \(c_n=u_{n-1}-\ln n\). a) Monotonie. b) \(c_n\le 1+\ln(n-1)-\ln n\). c) Convergence vers la constante d'Euler \(\gamma\approx 0{,}577\).

\(f_n(x)=x+n(1+\ln x)\) — suite \((\alpha_n)\), \(\frac{1}{e^2}<\alpha_n<\frac{1}{e}\)

f_n(x)=x+n(1+\ln x),\quad n\in\mathbb{N}^*

1a) Tableau de variations. 1b) Existence et unicité de \(\alpha_n\).

2a) Montrer \(\frac{1}{e^2}<\alpha_n<\frac{1}{e}\). 2b) Convergence de \((\alpha_n)\) et calcul de la limite.

\(f_n(x)=nx^2+\ln x\) — \((\alpha_n)\) décroissante, \(\lim\sqrt[n]{\alpha_n}=1\)

f_n(x)=nx^2+\ln(x),\quad n\ge 2

1) Existence et unicité de \(\alpha_n\). 2) \((\alpha_n)\) strictement décroissante, convergente. 3a) \(x-\frac{1}{2}\ln x>0\). 3b) \(\alpha_n<n^{-1/4}\), puis \(\lim\alpha_n\). 3c) \(\lim\sqrt[n]{\alpha_n}=1\).

\(f_n(x)=x-n\ln x\) — deux solutions \(a_n,b_n\), \(\lim a_n=1\)

f_n(x)=x-n\ln(x),\quad n\ge 3

1) Deux solutions \(a_n<n<b_n\). 2) \(\lim b_n\). 3a) \(1<a_n<2\). 3b) \((a_n)\) décroissante, convergente. 3c) \(\lim a_n=1\).

\(f_n(x)=-x^2+2+n\ln x\) — suites \((u_n),(v_n)\), \(\lim u_n\)

f_n(x)=-x^2+2+n\ln(x),\quad n\ge 2

1) Limites et variations de \(f_n\). 2) Fonction auxiliaire \(g(x)=x\ln x+2-x\) : variations, \(g(x)>0\). 3a) \(f_n\!\left(\sqrt{n/2}\right)>0\). 3b) Deux solutions \(u_n<v_n\). 3c) \(\lim v_n\). 4a) \(u_n\le 1\). 4b) \(f_{n+1}(u_n)=\ln(u_n)\). 4c) \((u_n)\) croissante, convergente. 4d) \(\lim u_n\).

\(f(x)=x^2\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)\) — asymptote \(y=x-\frac{1}{2}\), fonction réciproque

f(x)=x^2\ln\!\left(1+\tfrac{1}{x}\right)\;(x>0),\quad f(0)=0

1) Continuité et dérivabilité à droite en \(0\) ; \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\). 2) Théorème de Rolle : \(\lim_{t\to 0^+}\frac{t-\ln(1+t)}{t^2}=\frac{1}{2}\). 3) Asymptote \(y=x-\frac{1}{2}\). 4) \(f'(x)\), signe, tableau de variations. 5) Fonction réciproque \(f^{-1}\) : domaine \(J\), \((f^{-1})'(\ln 2)\), \(\lim\frac{f^{-1}(x)}{x}\), \(f^{-1}(x)>x\). 6) Courbes \((\mathcal{C})\) et \((\mathcal{C}')\).

\(f(x)=\dfrac{x}{\ln(1+x)}\) — encadrement de \(\ln(1+x)\), suite récurrente

f(x)=\frac{x}{\ln(1+x)}\;(x\ne 0,-1),\quad f(0)=1,\;f(-1)=0

A/ 1) Encadrement de \(\ln(1+x)\). 2) \(\lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\frac{1}{2}\).

B/ 1) Continuité, dérivabilité en \(-1\) et en \(0\). 2a) \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\frac{f(x)}{x}\). 2b) \(f'\) sur \(]-1;0[\cup]0;+\infty[\). 3a) \((x+1)\ln(x+1)-x\ge 0\). 3b) Tableau de variations. 3c) Courbe \((\mathcal{C})\). 4) Suite \(u_{n+1}=f(u_n)\), \(u_0=e\) : minoration, monotonie, convergence, limite.

\(f(x)=\dfrac{\ln^2(x)}{x-1}\) — primitive \(F\), suite contràctante

g(x)=-x\ln x+2x-2,\quad f(x)=\frac{\ln^2 x}{x-1}\;(f(1)=0)

I/ Variations de \(g\), solution \(\alpha\in\,]e;+\infty[\) avec \(4<\alpha<5\), signe de \(g\).

II/ Continuité et dérivabilité en \(1\), limites, \(f'(x)=\frac{\ln x}{x(x-1)^2}g(x)\), \(f(\alpha)\in\,]0;1[\), tableau de variations.

III/ Primitive \(F\) avec \(F(\alpha)=\alpha\) : monotonie, \(F(x)\ge x\) sur \(]0;\alpha]\), suite \(u_{n+1}=F(u_n)\), convergence par TAF, \(\lim u_n=\alpha\).

\(f_n(x)=x^n\ln x\) — suites \((x_n)\), \(\lim x_n=1\)

f_n(x)=x^n\ln(x)\;(x>0),\;f_n(0)=0,\quad n\ge 2

1) Dérivabilité en \(0\), limites en \(+\infty\), branches infinies. 2) \(f_n'\), variations, positions relatives \((\mathcal{C}_n)\) et \((\mathcal{C}_{n+1})\), courbes \((\mathcal{C}_1)\) et \((\mathcal{C}_2)\).

3) Existence et unicité de \(x_n\) avec \(f_n(x_n)=1\) ; \(f_{n+1}(x_n)>1\) ; \((x_n)\) décroissante, convergente.

4) \(b_n=x_n^n\) : \(b_n\ln b_n=n\) ; \(1<b_n\le n+1\) ; \(\lim\sqrt[n]{n+1}=1\) ; \(\lim x_n=1\).

\(f(x)=\sqrt{x}(\ln x)^2\) — concavité, réciproque, suite \((\alpha_n)\)

f(x)=\sqrt{x}(\ln x)^2\;(x>0),\;f(0)=0

1) Continuité en \(0\), limites en \(+\infty\), branches infinies. 2) Dérivabilité en \(0\) ; \(f'(x)=\frac{\ln x(\ln x+4)}{2\sqrt{x}}\) ; variations ; \(0\le f(x)\le(4/e)^2\) sur \([0;1]\).

3) \(f''(x)=\frac{8-(\ln x)^2}{4x\sqrt{x}}\) ; concavité ; deux points d'inflexion. 4) Réciproque \(g^{-1}\) de \(g=f|_{[1;+\infty[}\) ; \((g^{-1})'(\sqrt{e})\) ; suite \(g^{-1}(\alpha_n)=\frac{1}{n}+e\) ; \((\alpha_n)\) décroissante, convergente, \(\lim\alpha_n=\sqrt{e}\).

\(f(x)=x(1+\ln^2 x)\) — réciproque, suite \(u_{n+1}=f(u_n)\)

f(x)=x(1+\ln^2 x)\;(x>0),\;f(0)=0

I/ Continuité, dérivabilité en \(0\), branches infinies, \(f'(x)=(1+\ln x)^2\), variations, tangente en \(x=1\), \(f([e^{-1};1])\subset[e^{-1};1]\), concavité, position relative par rapport à \(y=x\), réciproque \(f^{-1}\), courbes.

II/ Suite \(u_0=e^{-1}\), \(u_{n+1}=f(u_n)\) : \(e^{-1}\le u_n<1\), strictement croissante, convergente, \(\lim u_n=1\).

\(f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}\) — suites \((u_n),(v_n)\), limite commune \(e\)

f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}\;(x\ne 0),\;f(0)=1,\quad x\in\,]-1;+\infty[

Partie 1. Continuité, \(f'(0)=-\frac{1}{2}\), limites, monotonie (via \(\frac{x}{x+1}\le\ln(1+x)\)), courbe.

Partie 2. \(u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) et \(v_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\). Croissance de \((u_n)\), décroissance de \((v_n)\), \(0\le v_n-u_n\le\frac{v_n}{n}\), limite commune \(L\ge\frac{9}{4}\), calculer \(L\).

\(g(x)=2x-(1+2x)\ln(1+2x)\) — réciproque \(h^{-1}\), point fixe, suite contractante

g(x)=2x-(1+2x)\ln(1+2x),\quad f(x)=\frac{\ln(1+2x)}{x}\;(f(0)=2)

Partie 1. Continuité et dérivabilité de \(g\) en \(-\frac{1}{2}\), variations, courbe \((\mathcal{C})\), réciproque \(h^{-1}\) de \(g|_{[0;+\infty[}\), dérivabilité, suite \(h^{-1}(\alpha_n)=\frac{1}{n}\), monotonie, \(\lim\alpha_n\).

Partie 2. Continuité de \(f\) en \(0\), \(f'(0)=-2\) (via Rolle), \(f'(x)=\frac{g(x)}{x^2(1+2x)}\), limites, unique \(\alpha\in[1;2]\) avec \(f(\alpha)=1\), courbe \((\Gamma)\).

Partie 3. \(\varphi(x)=\ln(1+2x)\), point fixe \(\varphi(\alpha)=\alpha\), \(\varphi(J)\subset J\), suite \(u_{n+1}=\ln(1+2u_n)\), \(|u_{n+1}-\alpha|\le\frac{2}{3}|u_n-\alpha|\), \(\lim u_n=\alpha\).

ℂ

Nombres complexes

Forme algébrique · Module & argument · Forme exponentielle · Transformations · Synthèse · 67 exercices

Forme algébrique Conjugué & module Forme trigonométrique Forme exponentielle Racines & équations Transformations du plan

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Forme algébrique — opérations sur \(z_1,z_2,z_3\)

z_1=3+2i,\quad z_2=-1+3i,\quad z_3=1-i

Écrire sous forme algébrique : \(z_4=z_1+z_2+z_3\), \(z_5=z_1-3z_2\), \(z_6=iz_1^2\), \(z_7=-iz_3^3\), \(z_8=z_1\times z_2\), \(z_9=z_2^4\), \(z_{10}=\dfrac{1}{z_2}\) et \(z_{11}=\dfrac{z_1}{z_3}\).

\(z=(\lambda+i)(\lambda+5-i(\lambda-7))\) imaginaire pur

z=(\lambda+i)\bigl(\lambda+5-i(\lambda-7)\bigr),\quad \lambda\in\mathbb{R}

Déterminer les valeurs de \(\lambda\) pour que \(z\) soit un imaginaire pur.

\(A(z)=z^2+2z+2\) — partie réelle, imaginaire, condition de réalité

A(z)=z^2+2z+2,\quad z\in\mathbb{C}

1. Écrire sous forme algébrique : \(A(i)\), \(A(1+i)\) et \(A(2i-3)\).

2a) Pour \(z=x+yi\), déterminer \(\mathrm{Re}(A(z))\) et \(\mathrm{Im}(A(z))\) en fonction de \(x\) et \(y\).

2b) Montrer que \(A(z)\in\mathbb{R}\iff(x=-1\text{ ou }y=0)\).

\(S_n=1+i+\cdots+i^n\) — formule fermée et valeurs selon \(n\bmod 4\)

S_n=1+i+i^2+\cdots+i^n,\quad n\in\mathbb{N}

1a) Montrer que \(S_n-iS_n=1-i^{n+1}\). 1b) En déduire \(S_n=\dfrac{1-i^{n+1}}{1-i}\).

2. Déterminer la valeur de \(S_n\) pour \(n=4p\), \(n=4p+1\), \(n=4p+2\) et \(n=4p+3\) avec \(p\in\mathbb{N}\).

Conjugué exprimé en fonction de \(z\) et \(\bar{z}\)

Écrire en fonction de \(z\) et \(\overline{z}\) le conjugué de : \(Z_1=iz+1\) ; \(Z_2=z^2+i\overline{z}-5\) ; \(Z_3=(3\overline{z}-1)(z+i)\) ; \(Z_4=\dfrac{2z-i}{1-\overline{z}}\) avec \(z\neq 1\).

Équations avec conjugué dans \(\mathbb{C}\)

1. \((1-i\overline{z})(z^2+2z+1)(z-\overline{z})=0\)

2. \(2z+i\overline{z}=5-4i\)

3. \(\dfrac{2\overline{z}-1}{z+i}=1+i\)

4. \(\dfrac{\overline{z}+i}{z-2}=\dfrac{z-i}{z+1}\)

\(z^2-\bar{z}^2\) imaginaire pur — \(X=(1+ia)^n+(1-ia)^n\) réel, \(Y\) imaginaire pur

1a) Montrer que \(A=z^2-\overline{z}^2\) est un imaginaire pur. 1b) Montrer que \(B=z^n+(\overline{z})^n\) est réel pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2a) Montrer que \(X=(1+ia)^n+(1-ia)^n\) est un réel. 2b) Montrer que \(Y=(a+i)^n-(a-i)^n\) est un imaginaire pur.

\(A(z)=z^2+2z+2\in\mathbb{R}\iff z\in\mathbb{R}\text{ ou }\mathrm{Re}(z)=-1\)

$$A(z)=z^2+2z+2$$

Montrer que \(A(z)\in\mathbb{R}\iff z\in\mathbb{R}\text{ ou }\mathrm{Re}(z)=-1\).

\(\dfrac{2z-1}{z^2}\in\mathbb{R}\iff z=\bar{z}\text{ ou }z+\bar{z}=2z\bar{z}\)

Montrer que pour \(z\in\mathbb{C}^*\) : \(\dfrac{2z-1}{z^2}\in\mathbb{R}\iff(z=\overline{z}\text{ ou }z+\overline{z}=2z\overline{z})\).

Plan complexe — affixes, vecteurs, parallélogramme, barycentre

z_A=3+2i,\quad z_B=-2+5i,\quad z_C=-5+2i

1. Placer \(A\), \(B\) et \(C\).

2. Déterminer l'affixe de \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{BC}\).

3a) Affixe de \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme. 3b) Affixe du centre \(I\).

4. Affixe du barycentre \(G\) de \((A,2)\), \((B,3)\), \((C,-1)\).

\(M(z),N(\bar{z}),P(-z),Q(-\bar{z})\) — nature du quadrilatère \(MNPQ\)

1. Quelle est la nature du quadrilatère \(MNPQ\) ?

2. Donner l'affixe de \(K\) défini par \(2\vec{MK}-3\vec{KN}+\vec{PM}=5\vec{OP}\).

Calcul de modules

z_1=\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i,\quad z_2=-\sqrt{3}+2i,\quad z_3=\cos\theta+i\sin\theta,\quad z_4=z_1\times z_2

Calculer le module de \(z_1,z_2,z_3,z_4\) et de \(z_5=z_3^{2020}\), \(z_6=\dfrac{1}{z_4}\), \(z_7=\dfrac{z_2}{z_1}\), \(z_8=\overline{z_1}\cdot(-z_2)^3\cdot\overline{z_3}^2\).

Ensembles de points \(E_1\) à \(E_7\) dans le plan complexe

\(E_1=\{M(z)\mid |z+3i+2|=|1+i|\}\)

\(E_2=\{M(z)\mid |\overline{z}-1+2i|=|z+1-i|\}\)

\(E_3=\{M(z)\mid |z+\overline{z}|=|z|\}\)

\(E_4=\{M(z)\mid (z-2i)(\overline{z}+2i)=9\}\)

\(E_5=\{M(z)\mid |z-2+i|\le 2\}\)

\(E_6=\{M(z)\mid \tfrac{z+i}{z-i}\in i\mathbb{R}\}\)

\(E_7=\{M(z)\mid \tfrac{z-2+i}{z+1-3i}\in\mathbb{R}\}\)

\(\dfrac{z-u\bar{z}}{1-u}\in\mathbb{R}\) avec \(|u|=1\), \(u\neq 1\)

Soit \(\overline{z}\neq z\) et \(|u|=1\), \(u\neq 1\). Montrer que \(\dfrac{z-u\overline{z}}{1-u}\) est un réel.

\(Z=\dfrac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}\in\mathbb{R}\) pour \(|z_1|=|z_2|=1\), \(z_1z_2\neq -1\)

Montrer que \(Z=\dfrac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}\) est un réel sachant que \(|z_1|=|z_2|=1\) et \(z_1z_2\neq -1\).

\(|z_1|^2+|z_2|^2=\tfrac{1}{2}(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2)\)

Montrer que pour tout \((z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2\) : \(|z_1|^2+|z_2|^2=\dfrac{1}{2}\bigl(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2\bigr)\).

Encadrement \(\dfrac{|\mathrm{Re}(z)|+|\mathrm{Im}(z)|}{\sqrt{2}}\le|z|\le|\mathrm{Re}(z)|+|\mathrm{Im}(z)|\)

Montrer que \(\dfrac{|\mathrm{Re}(z)|+|\mathrm{Im}(z)|}{\sqrt{2}}\le|z|\le|\mathrm{Re}(z)|+|\mathrm{Im}(z)|\) pour tout \(z\in\mathbb{C}\).

\(|z|\le 1\implies\mathrm{Re}(3+4z+z^2)\ge 0\)

Montrer que pour tout \(z\in\mathbb{C}\) : \(|z|\le 1\implies\mathrm{Re}(3+4z+z^2)\ge 0\).

Arguments de \(z_1,\ldots,z_{12}\)

z_1=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\; z_2=-\sqrt{7},\; z_3=i,\; z_4=-\tfrac{i}{5},\; z_5=i^{2019},\; z_6=1+i,\; z_7=1-i,\; z_8=\sqrt{3}-i,\; z_9=-1-\sqrt{3}i

Donner un argument de chacun des nombres ci-dessus, puis de \(z_{10}=z_8\times z_9\), \(z_{11}=\dfrac{z_7}{z_8}\) et \(z_{12}=z_7^{2020}\).

\(\dfrac{c-a}{b-a}=i\) — nature du triangle \(ABC\)

a=1+3i,\quad b=7-i,\quad c=5+9i

1. Montrer que \(\dfrac{c-a}{b-a}=i\).

2. En déduire la nature du triangle \(ABC\).

Forme trigonométrique de \(z_1,\ldots,z_5\)

Écrire sous forme trigonométrique : \(z_1=\sqrt{3}+i\), \(z_2=-2\sqrt{3}i-2\), \(z_3=(i-\sqrt{3})(1-\sqrt{3}+(\sqrt{3}-1)i)\), \(z_4=\dfrac{2+\sqrt{3}+(2\sqrt{3}+3)i}{2-\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})i}\), \(z_5=\left(\tfrac{1}{2}-\sqrt{3}-\tfrac{1-2\sqrt{3}}{2}i\right)^{2020}\).

\(z=\sqrt{2-\sqrt{3}}-i\sqrt{2+\sqrt{3}}\) — valeurs exactes de \(\cos\tfrac{5\pi}{12}\) et \(\sin\tfrac{5\pi}{12}\)

z=\sqrt{2-\sqrt{3}}-i\sqrt{2+\sqrt{3}}

1. Calculer \(z^2\), \(|z^2|\) et \(\arg(z^2)\).

2. En déduire une forme trigonométrique de \(z\).

3. En déduire les valeurs exactes de \(\cos\tfrac{5\pi}{12}\), \(\sin\tfrac{5\pi}{12}\), \(\cos\tfrac{\pi}{12}\) et \(\sin\tfrac{\pi}{12}\).

4. Construire les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes \(z\), \(-z\) et \(z^2\).

\(\alpha=-\sqrt{2+\sqrt{3}}-i\sqrt{2-\sqrt{3}}\) — ensembles \(E_1\), \(E_2\)

\alpha=-\sqrt{2+\sqrt{3}}-i\sqrt{2-\sqrt{3}}

1. Calculer \(\alpha^2\) puis en déduire \(|\alpha|\) et \(\arg(\alpha)\).

2. Déterminer \(E_1=\{M(z)\mid i\alpha z\in\mathbb{R}^+\}\) et \(E_2=\{M(z)\mid \alpha^2 z\in i\mathbb{R}\}\).

Forme exponentielle de \(z_1,\ldots,z_8\)

Mettre sous forme exponentielle : \(2(\cos\tfrac{\pi}{5}-i\sin\tfrac{\pi}{5})\), \(3(-\cos\tfrac{\pi}{7}+i\sin\tfrac{\pi}{7})\), \(\sqrt{2}(-\cos\tfrac{\pi}{9}-i\sin\tfrac{\pi}{9})\), \(-\sqrt{3}(\cos\tfrac{\pi}{11}+i\sin\tfrac{\pi}{11})\), \(\tfrac{3}{2}i\), \(-7\), \(2+2i\), \(-\sqrt{3}-3i\).

Forme exponentielle — fractions, puissances, produits

Écrire sous forme exponentielle : \(\dfrac{-2}{\sqrt{3}+i}\), \(\dfrac{2+2i}{\sqrt{3}+i}\), \((1-\sqrt{3}i)^{2016}\), \((3-\sqrt{3}i)(-1+i)\), \(i(1+\sqrt{3}i)(-1-i)^3\), \(\dfrac{\sqrt{3}-i}{(-2+2i)^2}\).

\(1+e^{i\alpha}=2\cos(\alpha/2)e^{i\alpha/2}\) — formules \(e^{ia}\pm e^{ib}\) — \(u=1+i\sqrt{3}\), \(v=\sqrt{2}(1+i)\)

I. 1a) Montrer que \(1+e^{i\alpha}=2\cos(\alpha/2)e^{i\alpha/2}\). 1b) Déduire les formules pour \(e^{ia}+e^{ib}\) et \(e^{ia}-e^{ib}\).

II. Écrire \(u=1+i\sqrt{3}\) et \(v=\sqrt{2}(1+i)\) sous forme exponentielle, puis \(t=(\sqrt{2}+1)+i(\sqrt{2}+\sqrt{3})\).

III. Pour \(z=re^{i\theta}\) avec \(\theta\in]-\pi/3;2\pi/3[\), écrire \(Z=z-e^{i\pi/3}\overline{z}\) sous forme exponentielle.

\(Z_1=1+\cos x+i\sin x\), \(Z_2=1-\cos x+i\sin x\), \(Z_3=1-\sin x+i\cos x\)

1. Pour \(0<x<2\pi\), écrire \(Z_1,Z_2,Z_3\) sous forme trigonométrique.

2. Application : mettre sous forme trigonométrique \(1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{1}{2}i\), \(1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{1}{2}i\) et \(2+\sqrt{2}-i\sqrt{2}\).

3. Pour \(-\pi/2<\theta<\pi/2\), écrire \(X=\dfrac{\tan\theta}{1+i\tan\theta}\) sous forme trigonométrique.

\(Z=\dfrac{1+\cos\alpha+i\sin\alpha}{\sqrt{1+\sin 2\alpha}+i\sqrt{1-\sin 2\alpha}}\) — module et argument

Z=\frac{1+\cos\alpha+i\sin\alpha}{\sqrt{1+\sin 2\alpha}+i\sqrt{1-\sin 2\alpha}},\quad\alpha\in\left]0;\tfrac{\pi}{4}\right[

Déterminer \(|Z|\) et \(\arg(Z)\).

\(S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)=\dfrac{1}{\tan(\pi/(2n))}\)

u=e^{i\pi/n},\quad S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi}{n}\right)

1. Calculer \(T=\sum_{k=0}^{n-1}u^k\).

2. En déduire que \(S_n=\dfrac{1}{\tan(\pi/(2n))}\).

Linéarisation de \(\sin^3 x\) et \(\cos^3 x\cdot\sin^2 x\)

Linéariser \(f(x)=\sin^3 x\) et \(g(x)=\cos^3 x\cdot\sin^2 x\).

Racines cubiques de \(4(-1+i\sqrt{3})\) — racines quatrièmes de \(8\sqrt{2}(1+i)\)

1. Déterminer les racines cubiques de \(a=4(-1+i\sqrt{3})\).

2. Déterminer les racines quatrièmes de \(b=8\sqrt{2}(1+i)\).

\(z^3=4\sqrt{2}(-1+i)\) — valeurs exactes de \(\cos(11\pi/12)\) et \(\sin(11\pi/12)\)

1. Résoudre \(z^3=4\sqrt{2}(-1+i)\) dans \(\mathbb{C}\) et écrire les solutions sous forme algébrique.

2. En déduire la valeur exacte de \(\cos\tfrac{11\pi}{12}\) et \(\sin\tfrac{11\pi}{12}\).

Racines carrées de \(z_1,\ldots,z_8\)

Déterminer les racines carrées de : \(-\tfrac{1}{2}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(2i\), \(-2i\), \(-5-12i\), \(1+2\sqrt{2}i\), \(-1-4\sqrt{3}i\) et \(\tfrac{73}{36}-\sqrt{2}i\).

Équations du 2nd degré dans \(\mathbb{C}\) : \(E_1\) à \(E_5\)

\((E_1):z^2-2z+2=0\)

\((E_2):z^2+(3+4i)z-1+5i=0\)

\((E_3):z^2(1-z^2)=16\)

\((E_4):z^2-2(1+\cos\alpha)z+2(1+\cos\alpha)=0\)

\((E_5):z+3\overline{z}=(2+i\sqrt{3})|z|\)

Équations du 3e et 4e degré — racine imaginaire pure / réelle connue

1. \(z^3+(1+2i)z^2+(-1+5i)z-2i-6=0\) (solution imaginaire pure).

2. \(z^3+2(1+i)z^2+(-6+5i)z-9-3i=0\) (solution réelle).

3. \(z^4-2(1-i)z^3-4z^2-2(1+9i)z+15=0\) (solution réelle et imaginaire pure).

Racines 7èmes de l'unité — \(u=z+z^2+z^4\), \(v=z^3+z^5+z^6\) conjugués

z=e^{i2\pi/7},\quad u=z+z^2+z^4,\quad v=z^3+z^5+z^6

a) Montrer que \(u\) et \(v\) sont conjugués. b) Montrer que \(\mathrm{Im}(u)>0\).

c) Calculer \(u+v\) et \(u\times v\). d) En déduire les valeurs de \(u\) et \(v\).

e) Calculer \(s=\cos\tfrac{2\pi}{7}+\cos\tfrac{4\pi}{7}+\cos\tfrac{8\pi}{7}\) et \(S=\sum_{k=4}^{10}\sin\!\left(\tfrac{2k\pi}{7}\right)\).

Nature de transformations — \(z'=z-1+3i\), \(z'=\tfrac{5}{2}z+\ldots\), rotation, symétries

1. Déterminer la nature de \(f\) pour : a) \(z'=z-1+3i\) b) \(z'=\tfrac{5}{2}z+6i-3\) c) \(z'=(\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i)z+1-\sqrt{3}i\) d) \(z'=-z\) e) \(z'=\overline{z}\) f) \(z'=-\overline{z}\).

2. Pour \(z'=i\overline{z}-1+i\) : a) Déterminer la droite \((D)\) des points invariants. b) Montrer que \((D)\) est la médiatrice de \([MM']\), en déduire la nature de \(S\).

\(F:z'=u^2z+u-1\) — translation, rotation \(\pi/2\), homothétie

F:z\mapsto u^2z+u-1,\quad u\in\mathbb{C}

1. Valeurs de \(u\) pour que \(F\) soit une translation.

2. Valeurs de \(u\) pour que \(F\) soit une rotation d'angle \(\pi/2\).

3. Valeurs de \(u\) pour que \(F\) soit une homothétie de rapport \(-2\).

4. Pour \(u=1-i\), montrer que \(F\) est composée d'une rotation d'angle \(\pi/2\) et d'une homothétie.

🔮 Exercices de synthèse Ex. 39–67

\(F(z)=\dfrac{iz-1}{z-i}\) — solutions de \(F(z)=iz\), \(|z|=1\implies F(z)\in\mathbb{R}\)

F(z)=\frac{iz-1}{z-i},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{i\}

1a) Vérifier que \((\sqrt{3}-i\sqrt{3})^2=-6i\). 1b) Résoudre \(F(z)=iz\). 1c) Forme trigonométrique des solutions. 1d) Montrer que \(O\), \(A\) et \(B\) sont alignés.

2a) Montrer que \(F(z)=-\dfrac{z+\overline{z}}{|z-i|^2}+i\dfrac{z\overline{z}-1}{|z-i|^2}\). 2b) En déduire que \(|z|=1\implies F(z)\in\mathbb{R}\).

\(z^2-(3m-2i)z+2m^2-4mi=0\) — racines cubiques, quadrilatère carré

1. Résoudre \(z^2-(3m-2i)z+2m^2-4mi=0\) dans \(\mathbb{C}\).

2. Pour \(m=1+i\) : a) forme trigonométrique de \(z_1,z_2\). b) Vérifier que \(-3z_1\) est racine cubique de \(z_2\), déduire les deux autres.

3. \(A(i)\), \(B(2m)\), \(C(m-2i)\) : a) non alignés. b) Trouver \(d\) tel que \(BCD\) rectangle isocèle en \(D\). c) Valeur de \(m\) pour que \(ABCD\) soit un carré.

Points \(A(-4-6i)\ldots C_1(-3-i)\) — similitude directe \(f=r\circ h\)

Partie 1 : Placer les 6 points, trouver les milieux \(I,J,K\), montrer l'alignement, angle \((\widehat{\vec{IB},\vec{IB_1}})\), image de \((AB)\) par la rotation de centre \(I\) d'angle \(\pi/4\).

Partie 2 : \(f:z'=(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}i)z+2-2i\). Trouver \(f(A),f(B),f(C)\), le point fixe \(\Omega\), puis montrer \(f=r\circ h\).

Triangles \(BMM_1\) et \(AMM_2\) rectangles isocèles — \(OM_1M_2\) isocèle, équilatéral

1a) Vérifier \(z-z_1=i(i-z_1)\) et \(1-z_2=i(z-z_2)\). 1b) Déduire \(z_1=\tfrac{1+i}{2}(z+1)\) et \(z_2=\tfrac{1-i}{2}(z+i)\).

2a) \(OM_1=OM_2\iff|z+1|=|z+i|\). 2b) \(OM_1=M_1M_2\iff|z+1|^2=2|z|^2\). 2c) \(\iff|z-1|^2=2\). 2d) Ensemble pour le triangle équilatéral.

\(z^2-4z+8=0\) — transformation \(z'=1/z\), image du cercle en droite

1. Résoudre \(z^2-4z+8=0\), forme trigonométrique de \(z_1,z_2\).

2. \(f:z'=1/z\). Affixes de \(A'\) et \(B'\). Montrer \(O,M,M'\) alignés et \(OM'\cdot OM=1\).

3a) \(|z-2|=2\iff|\tfrac{1}{2}-z'|=|z'|\). 3b) \([AB]\) diamètre de \((\mathcal{C})\) ; image de \((\mathcal{C})\setminus\{O\}\) par \(f\) est une droite \((D)\).

\(P(z)=z^3-(4-i)z^2+4(2-i)z+8i\) — quadrilatère \(KLHN\) carré

Partie 1 : Montrer que \(P(z)=0\) admet une solution imaginaire pure, déduire \(b,c\) tels que \(P(z)=(z+i)(z^2+bz+c)\), résoudre \(P(z)=0\).

Partie 2 : Construire \(A(2+2i),B(2-2i),C(-mi)\). Trouver \(C'\) symétrique de \(C\) par rapport à \(B\). Par rotation \(R\) (angle \(\pi/2\)) et translation \(t\) (vecteur \(4i\)), obtenir \(K,H,N,L\). Montrer que \(KLHN\) est un carré.

Triangle équilatéral \(ABC\), cercle circonscrit, \((\Gamma)\), rotation d'angle \(\pi/3\)

a=-1+i\sqrt{3},\quad b=-1-i\sqrt{3},\quad c=2

1a) Vérifier \(\dfrac{b-c}{a-c}=e^{i\pi/3}\). 1b) Nature du triangle \(ABC\). 2) Cercle circonscrit. 3) \((\Gamma):2(z+\overline{z})+z\overline{z}=0\). 4) Rotation de centre \(A\) d'angle \(\pi/3\).

Suite complexe \(z_{n+1}=(\tfrac{3}{4}+i\tfrac{\sqrt{3}}{4})z_n\) — longueur totale, alignement

1. Exprimer \(d_n=|z_{n+1}-z_n|\) en fonction de \(n\), calculer \(L_n=\sum_{k=0}^n A_kA_{k+1}\) et \(\lim L_n\).

2. Trouver \(a_n=\arg(z_n)\) en fonction de \(n\), puis déterminer les \(n\) pour lesquels \(O,A_0,A_n\) sont alignés.

\(t(z)=z^2+z+1\) — \(z^2+z+1=0\), racines de l'unité, condition \(|z|=|1+z|=1\)

Partie 1 : Trouver l'ensemble \(E\) pour lequel \(t(z)\in\mathbb{R}\), puis l'ensemble \(F\) pour lequel \(O,M,M'\) sont alignés.

Partie 2 : Résoudre \(z^2+z+1=0\), vérifier les propriétés des solutions, puis montrer que si \(|z|=|1+z|=1\) alors \(\cos(\theta/2)=1/2\) et déduire \(z\).

Triangle \(ABC\), triangles \(BAB'\) et \(C'AC\) rectangles isocèles — \((AM)\perp(B'C')\)

1. Déterminer \(b'\) et \(c'\) en fonction de \(a,b,c\). Trouver \(m\).

2a) Écrire \(c'-b'\) en fonction de \(a\) et \(m\). 2b) En déduire \(B'C'=2AM\) et \((B'C')\perp(AM)\).

Triangle de Napoléon — \(AA'=BB'=CC'\), même centre de gravité

1. Déterminer \(a'\), \(b'\) et \(c'\) en fonction de \(a,b,c\).

2. Montrer que \(a'-a=e^{i\pi/3}(aj+b+cj^2)\) et calculer \(b'-b\), \(c'-c\) où \(j=e^{i2\pi/3}\).

3a) Montrer que \(AA'=BB'=CC'\). 3b) Montrer que \(A'B'C'\) et \(ABC\) ont le même centre de gravité.

Carrés \(AFGB\) et \(ACDE\) — \(EF=2OA\), \((EF)\perp(OA)\), \(BD=CH\), \((BD)\perp(CH)\)

1. CNS pour que \(A,B,C\) soient alignés. 2a) Montrer \(e=-ib+a(1-i)\). 2b) Déterminer \(\alpha,\beta,\gamma\). 2c) Déduire \(EF=2OA\), \((EF)\perp(OA)\), \(BD=CH\), \((BD)\perp(CH)\).

Carré \(BCDE\), cercle \((\mathcal{C})\), quadrilatère \(QBFG\) carré sur \((\mathcal{C})\)

Vérifier que \(BCDE\) est un carré, étudier le quadrilatère \(QBFG\) carré sur \((\mathcal{C})\), montrer \(g=(1+x+y)+i(1-x+y)\), exprimer \(|g|\), et trouver \((x,y)\) pour que \(E,D,G,F\) appartiennent à un même cercle de centre \(O\).

\(z'=\dfrac{2z-i}{iz+1}\) — inversion, cercle \((\mathcal{C}')\), construction de \(N'\)

1. Montrer \((z'+2i)(z-i)=1\), interpréter géométriquement. 2. Image du cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(A(i)\) et rayon 1. 3. Pour \(N\) donné, construire \(N'\).

\(\omega=e^{i2\pi/3}\) — \(E=\{z\mid|z|=|1+z|=1\}=\{\omega,\bar\omega\}\), triangle inscrit équilatéral

1. Montrer \(1+\omega+\omega^2=0\). 2. Montrer \(E=\{\omega,\overline\omega\}\). 3. Si \(O\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\) inscrit dans \((\mathcal{C})\), montrer que \(ABC\) est équilatéral.

\(z^2-2z+\cos^{-2}\theta=0\) — triangle isocèle en \(O\), solutions de \(z^{2n}-2z^n+\cos^{-2}\theta=0\)

1. Résoudre \((E_\theta)\), forme trigonométrique de \(z_1,z_2\). 2. Montrer que \(OM_1M_2\) est isocèle en \(O\). 3. Résoudre \(z^{2n}-2z^n+\cos^{-2}\theta=0\) sous forme exponentielle.

\(Z=\dfrac{z+1}{z-1}\) — \(|z|=1\iff Z\in i\mathbb{R}\) — équation \((E):(\frac{z+1}{z-1})^n+(\frac{z-1}{z+1})^n=\sqrt{2}\)

Partie 1 : 1. \(|z|=1\iff Z\in i\mathbb{R}\). 2. Pour \(z=e^{i\theta}\), montrer \(Z=-i/\tan(\theta/2)\), interpréter \((\widehat{\vec{M'A};\vec{M'B}})\equiv\theta\).

Partie 2 : 1. Ensemble des solutions de \((E)\). 2. Montrer \(P(z)=(\sqrt{2}-2)\prod_{k=0}^{n-1}(z^2+\cot^2\theta_k)\) et calculer le produit des \(\cot^2\theta_k\).

\(\prod_{k=1}^m z_k=(-1)^m P(0)\) — \(f_n(\theta)=\dfrac{\sin(n\theta)}{2^{n-1}}\) — \(\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)=n/2^{n-1}\)

1. Montrer \(\prod z_k=(-1)^m P(0)\). 2a) Résoudre \((z+1)^n=e^{i2n\theta}\). 2b) Montrer \(f_n(\theta)=\sin(n\theta)/2^{n-1}\) et calculer la limite. 2c) Calculer \(\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)\).

\(\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)=n/2^{n-1}\) — via \(u_k-1\) et \(v_k\)

1. Montrer \(\prod_{k=1}^{n-1}v_k=(-1)^{n-1}(i)^{n-1}\). 2a) Exprimer \(u_k-1\) via \(v_k\). 2b) Calculer \(\prod(u_k-1)\). 2c) Déduire \(\prod\sin(k\pi/n)=n/2^{n-1}\).

Session Normale 2017

\(z^2-(1+2i)z+1+7i=0\) — rotation, parallélogramme \(OCDB\)

Partie A : Vérifier \(\Delta=(3-4i)^2\), trouver \(z_1,z_2\), montrer \(z_2/z_1=\sqrt{2}e^{i3\pi/4}\).

Partie B : \(A(2-i)\), \(B(-1+3i)\). Image de \(A\) par rotation \(R(\pi/2)\) donne \(C\), montrer \(T(C)=B\). Construire parallélogramme \(OCDB\). Interpréter géométriquement le quotient.

\(z^2-(1+i)z+2+2i=0\) — rotation, \(c=-3/2+3i/2\), alignement

1. Résoudre \((E)\), montrer \(z_1/z_2=\sqrt{2}e^{i3\pi/4}\). 2a) Milieu \(E\). 2b) Montrer \(c=-3/2+3i/2\). 2c) Interpréter le quotient.

\(z^2+i=0\) — \(\cos(\pi/8)\) exact, \(zz'+i=0\Rightarrow M'\) sur cercle circonscrit

Partie A : Résoudre \(z^2+i=0\), déduire \(\cos(\pi/8)=\tfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\), forme trigonométrique de \(1-a\).

Partie B : \(zz'+i=0\). Montrer \((ON)\perp(OM')\). Montrer \(z'-a=i(z-a)/(az)\). Déduire que \(M'\) appartient au cercle circonscrit à \(ABM\).

\(z^3+(2-i)z^2+(m^2+1-2i)z-i(1+m^2)=0\) — cocycliques

Partie 1 : Vérifier que \(i\) est solution, résoudre. Valeurs de \(m\) pour que le produit des solutions soit 1. Pour \(m=e^{i\alpha}\), forme exponentielle de \(z_1=-1+im\) et \(z_2=-1-im\).

Partie 2 : Ensemble des \(M(m)\) tels que \(M,M_1,M_2\) alignés. Montrer que \(R:z'=iz-1\) est une rotation, déduire cocycliques \(\Omega,M,M_1,M_2\).

Session Normale 2017

\(2z^2-2(m+1+i)z+m^2+(1+i)m+i=0\) — cocycliques

Partie I : Vérifier \(\Delta=(2im)^2\), résoudre \((E_m)\).

Partie II : Vérifier \(z_1=iz_2+1\), montrer que \(M_1\) est image de \(M_2\) par rotation de centre \(\Omega(\frac{1+i}{2})\) d'angle \(\pi/2\). Montrer que si \(M,M_1,M_2\) alignés alors \(M\) appartient au cercle de diamètre \([AB]\). Cocycliques \(\Omega,M,M_1,M_2\).

Session Rattrapage 2017

\(z'=\frac{1}{2}(z+1/z)\) — médiatrice, image du cercle

1. Points fixes. 2. Montrer \(\dfrac{z'+1}{z'-1}=\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^2\). 3. Si \(M\in(\Delta)\) médiatrice de \([AB]\), montrer \(M'\in(\Delta)\). 4. Si \(M\in(\Gamma)\) cercle de diamètre \([AB]\), montrer \(M'\in(AB)\).

Session Normale 2018

Rotation \(R(-\pi/2)\) — cocycliques \(A,B,\Omega,M\)

Partie I : Vérifier \(\Delta=(im-2i)^2\), résoudre, forme exponentielle pour \(m=i\sqrt{2}\).

Partie II : Vérifier \(\Omega(i)\) est le centre de \(R(-\pi/2)\), trouver \(B\). Montrer que \(A,M,M'\) alignés \(\iff A,B,\Omega,M\) cocycliques. Cercle des points \(M\) pour lesquels \(A,M,M'\) alignés.

Session Rattrapage 2018

\(h(z)=i\dfrac{z-2i}{z-i}\) — \(M,A,B,M'\) cocycliques

1. Vérifier \(h(z)=z\iff z^2-2iz-2=0\), résoudre. 2. Montrer \(\dfrac{h(z)-a}{h(z)-b}=-\dfrac{z-a}{z-b}\), interpréter l'angle orienté. 3. Si \(M,A,B\) non alignés, montrer \(M,A,B,M'\) cocycliques.

Session Normale Juin 2019

\(z^2-(1+i)(1+m)z+2im=0\) — \((O\Omega)\perp(AB)\)

I : Montrer \(\Delta\neq 0\), résoudre \((E)\). Pour \(m=e^{i\theta}\), trouver \(|z_1+z_2|\) et \(\arg(z_1+z_2)\). Montrer que \(z_1z_2\in\mathbb{R}\implies z_1+z_2=2i\).

II : Trouver \(\omega\), calculer \((b-a)/\omega\), déduire \((O\Omega)\perp(AB)\) et \(AB=2O\Omega\). Puis trouver \(h\) tel que \((O\Omega)\) coupe \((AB)\) en \(H\).

Session Rattrapage Juillet 2019

\(z^2-i\alpha\sqrt{3}z-\alpha^2=0\) — losange \(O\Omega M_1M_2\)

I : Vérifier \(\Delta=\alpha^2\), résoudre, forme exponentielle des solutions.

II : 1. Montrer \(R(\Omega)=M_1\), \(R(M_1)=M_2\), triangles équilatéraux. 2. Vérifier \(z_1-z_2=\alpha\), montrer \((\Omega M_2)\perp(OM_1)\), déduire que \(O\Omega M_1M_2\) est un losange. 3. Montrer que \(Z\) est réel.

Exercices — 2BAC SM

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